Հավանականության տեսություն

[tikfiz]

Եղբայր, քո գրածում տենց բան կա?

Միմյանցից տարբեր թվերը նախորդ խնդրի պայմանը չէր?

Այդ հարցը վերաբերվում էր նախորդ խնդրին: Բայց a-ն ընտրելու հավանականությունը այդ դեպքում էլ է 0:

[soultaker]

Երկու թվերի դեպքում առաջինի մեծ կամ փոքր լինելու հավանականությունը 1/2 է, ու ստացվում է հետևյալ կերպ. եթե առաջին թիվը 0 է, ապա նրանից փոքր և մեծ հավասար քանակությամբ թվեր կան(դրական և բացասական թվերը քանակով հավասար են, որովհետև սիմետրիկ են): Եթե օրինակ այն լինի 5, ապա նրանից փոքր թվերի քանակը կավելանա 5-ով: Այդ դեպքում 1/2 կլինի նորից, որովհետև հնարավոր թվերը անվերջ են, բայց այդ 5-ը այդպես կարող է աճել մինչև անվերջություն, ու այդ դեպքում արդեն չի լինի շեղումն անտեսել: Բայց այդ դեպքում էլ նորից փրկում է սիմետրիկությունը՝ եթե առաջին թիվը ստացվում է անվերջ մեծ թիվ՝ ապա նույն հավանականությամբ կարող էր ստացվել նաև դրա հակադարձը, ու այդ երկու հավանականություններ միջինը նորից տալիս է 1/2 -> ((p) + (1-p)) / 2 = 1/2: Այսինքն երկու թվեր ընտրելու դեպքում երկրորդը առաջինից փոքր լինելու հավանականությունը 1/2 է: Բայց երբ այդ թվերը ավելին են քան երկուսը, այդ իրար չեզոքացնող կանոնը էլ չի գործում: Օրինակ չորս թվի դեպքում (p) և (1-p) փոխարեն ստացվում են p^3 և (1-p)^3, ու (p^3 + (1-p)^3) / 2 արդեն հավասար չի լինում 1/2-ի: Բանը նրանումն է, որ երկու թվեր ընտրելիս երկուսն էլ իրար "իրավահավասար" են, բայց երբ առաջինը ֆիքսում ենք, և դրանից հետո ընտրում ոչ թե մեկ, այլ երկու կամ ավել թվեր, ապա առաջինի ընտրույթը ստացվում է ֆիքսված բոլորի համար, որովհետև ամեն հաջորդ թիվ ընտրելիս առաջինը նորից չենք պատահական որոշում, այլ այն մնում է իր առաջին անգամվա արժեքին:

[Varzor]

Այդ հարցը վերաբերվում էր նախորդ խնդրին: Բայց a-ն ընտրելու հավանականությունը այդ դեպքում էլ է 0:

Հարգելիս ոնց կարող է 0 լինել?
0 հավանականությունը առնվազն նշանակում է, որ մենք չենք կարող ոչ մի կերպ ընտրել a-ից փոքր թիվ, կամ էլ տենց թիվ գոյություն չունի:
Բայց փաստացի տենց չի չէ?
Հենա մի տարբերակով ես եմ լուծումը գրել, մի հատ էլ soultaker-ն է գրել: Առնվազան մեկ տարբերակի մեջ էլ համամիտ ենք` 1/2 հավանականություն: Դու ոնց ես 0 ստանում, միգուցե ներկայացնես փորձենք հասկանալ?

[Varzor]

Բայց երբ այդ թվերը ավելին են քան երկուսը, այդ իրար չեզոքացնող կանոնը էլ չի գործում: Օրինակ չորս թվի դեպքում (p) և (1-p) փոխարեն ստացվում են p^3 և (1-p)^3, ու (p^3 + (1-p)^3) / 2 արդեն հավասար չի լինում 1/2-ի: Բանը նրանումն է, որ երկու թվեր ընտրելիս երկուսն էլ իրար "իրավահավասար" են, բայց երբ առաջինը ֆիքսում ենք, և դրանից հետո ընտրում ոչ թե մեկ, այլ երկու կամ ավել թվեր, ապա առաջինի ընտրույթը ստացվում է ֆիքսված բոլորի համար, որովհետև ամեն հաջորդ թիվ ընտրելիս առաջինը նորից չենք պատահական որոշում, այլ այն մնում է իր առաջին անգամվա արժեքին:

Բնականաբար չի գործում, քանի որ արդեն անկախ պատահարներ չեն` ամեն հաջորդը կախված է առնվազն 1-ինից:
Եթե քո դիտարկած խնդիրը ճիշտ եմ հասկացել, ապա այն հետևյալն է.
Պատահականորեն ընտրում ենք որևէ a թիվ: Որքան է հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված 4 չկրկնվող թվեր կլինեն հաջորդաբար փոքր a-ից և նախորդ թվից:
Ճիշտ եմ ձևակերպում?

[soultaker]

Հարգելիս ոնց կարող է 0 լինել?
0 հավանականությունը առնվազն նշանակում է, որ մենք չենք կարող ոչ մի կերպ ընտրել a-ից փոքր թիվ, կամ էլ տենց թիվ գոյություն չունի:
Բայց փաստացի տենց չի չէ?
Հենա մի տարբերակով ես եմ լուծումը գրել, մի հատ էլ soultaker-ն է գրել: Առնվազան մեկ տարբերակի մեջ էլ համամիտ ենք` 1/2 հավանականություն: Դու ոնց ես 0 ստանում, միգուցե ներկայացնես փորձենք հասկանալ?

Դե իրականում պիտի լինի անվերջ փոքր թիվ:

Բնականաբար չի գործում, քանի որ արդեն անկախ պատահարներ չեն` ամեն հաջորդը կախված է առնվազն 1-ինից:
Եթե քո դիտարկած խնդիրը ճիշտ եմ հասկացել, ապա այն հետևյալն է.
Պատահականորեն ընտրում ենք որևէ a թիվ: Որքան է հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված 4 չկրկնվող թվեր կլինեն հաջորդաբար փոքր a-ից և նախորդ թվից:
Ճիշտ եմ ձևակերպում?

Երկրորդ, երրորդ և չորրորդ պատահարները իրար նկատմամբ կարելի է համարել անկախ, դրանից պատասխանը չի փոխվի, որովհետև այդ անկախությունը խախտում է միայն միմյանցից տարբերվելու պայմանը, բայց քանի որ անվերջ հնարավոր ընտրումներ ունենք, միմյանց հետ համընկնելու հավանականությունը անվերջ փոքր է, ու պատասխանի վրա չի ազդում:

Ես գրում էի հենց նախնական խնդրի մասին, այսինքն նախորդ թվից փոքր լինելու պայման չկար: Նպատակը tikfiz-ի երկրորդ լուծման սխալը բացատրելն էր (որով ստացվում էր 1/8): Ու բացատրությունը, որը արդեն նշել եմ, ավելի պարզ ձևակերպվում է հետևյալ կերպ - իրականում առաջին թիվը ընտրելուց հետո հավանականությունը, որ երկրորդը նրանից փոքր կլինի, 1/2 չի, բայց մինչև առաջին թիվը ընտրելը 1/2 է, որովհետև միջինում այդքան է ստացվում, իսկ երբ որ բացի երկրորդից կան նաև երրորդ և չորրորդ թվեր, արդեն միջինում այդքան չի ստացվում:

[tikfiz]

Բնականաբար չի գործում, քանի որ արդեն անկախ պատահարներ չեն` ամեն հաջորդը կախված է առնվազն 1-ինից:
Եթե քո դիտարկած խնդիրը ճիշտ եմ հասկացել, ապա այն հետևյալն է.
Պատահականորեն ընտրում ենք որևէ a թիվ: Որքան է հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված 4 չկրկնվող թվեր կլինեն հաջորդաբար փոքր a-ից և նախորդ թվից:
Ճիշտ եմ ձևակերպում?

Պատահականորեն 4 թվերից ընտրում ենք մեկը և նշանակում ենք a: Հետո մնացած 3 թվերը պետք է լինեն a-ից փոքր:

[tikfiz]

Դե իրականում պիտի լինի անվերջ փոքր թիվ:




Երկրորդ, երրորդ և չորրորդ պատահարները իրար նկատմամբ կարելի է համարել անկախ, դրանից պատասխանը չի փոխվի, որովհետև այդ անկախությունը խախտում է միայն միմյանցից տարբերվելու պայմանը, բայց քանի որ անվերջ հնարավոր ընտրումներ ունենք, միմյանց հետ համընկնելու հավանականությունը անվերջ փոքր է, ու պատասխանի վրա չի ազդում:

Ես գրում էի հենց նախնական խնդրի մասին, այսինքն նախորդ թվից փոքր լինելու պայման չկար: Նպատակը tikfiz-ի երկրորդ լուծման սխալը բացատրելն էր (որով ստացվում էր 1/8): Ու բացատրությունը, որը արդեն նշել եմ, ավելի պարզ ձևակերպվում է հետևյալ կերպ - իրականում առաջին թիվը ընտրելուց հետո հավանականությունը, որ երկրորդը նրանից փոքր կլինի, 1/2 չի, բայց մինչև առաջին թիվը ընտրելը 1/2 է, որովհետև միջինում այդքան է ստացվում, իսկ երբ որ բացի երկրորդից կան նաև երրորդ և չորրորդ թվեր, արդեն միջինում այդքան չի ստացվում:

Ճիշտ է: Սխալը կայանում է հենց դրանում:

[tikfiz]

Հարգելիս ոնց կարող է 0 լինել?
0 հավանականությունը առնվազն նշանակում է, որ մենք չենք կարող ոչ մի կերպ ընտրել a-ից փոքր թիվ, կամ էլ տենց թիվ գոյություն չունի:
Բայց փաստացի տենց չի չէ?
Հենա մի տարբերակով ես եմ լուծումը գրել, մի հատ էլ soultaker-ն է գրել: Առնվազան մեկ տարբերակի մեջ էլ համամիտ ենք` 1/2 հավանականություն: Դու ոնց ես 0 ստանում, միգուցե ներկայացնես փորձենք հասկանալ?

a-ն ընտրելու հավանականությունը հավասար է 1/∞, որը ձգտում է 0-ի այլ ոչ թե 1/3:

[Varzor]

Պատահականորեն 4 թվերից ընտրում ենք մեկը և նշանակում ենք a: Հետո մնացած 3 թվերը պետք է լինեն a-ից փոքր:

Պետք չէ տենց բան անել` անիմաստ է:
Խնդրի լուծումն ԻՀԿ ակնհայտ է: Քանի որ պայմանի մեջ դրված էր, որ դրանք տարբեր թվեր են (նբշանակում է, որ նաև չեն կրկնվում), ապա դա նշանակում է, որ դրանցից մեկը անպայման մյուսներից մեծ պետք է լինի, իսկ այդպիսին կարող է լինել ցանկացածը հավասար հավանականությամբ` 1/4: 4 կամայական տարբեր թվերից մեկի որպես մեծ հանդես գալու հավանականությունը հավասար է 1-ի` պաևտադիր մեկը մեծ/փոքր է մյուսներից:
Ու դա նշանակում է, որ առաջինի որպես մեծ հանդես գալու հավանականությունը ուղղակի հավասար հավանականություն է` 1/4:

[Varzor]

a-ն ընտրելու հավանականությունը հավասար է 1/∞, որը ձգտում է 0-ի այլ ոչ թե 1/3:

Աչքիս մենք իրար չենք հասկանում:
Հիմա խնդիրը որն է?
1. Որքան է հավանականությունը, որ 4 պատահական, իրարից տարբեր թվերից մեկը քաշելով կքաշենք ամենամեծը/փոքրը? Պատ. 1/4
2. Վերցնում ենք մի a թիվ, որքան է հավանականությունը, որ հաջորդ ընտրված թիվը կլինի նրանից մեծ կամ փոքր? Պատ. 1/3

Ուղղակի չեմ հասկանում, թե 1-ինը ինչ կապ ունի 2-րդ ի հետ

[soultaker]

Աչքիս մենք իրար չենք հասկանում:
Հիմա խնդիրը որն է?
1. Որքան է հավանականությունը, որ 4 պատահական, իրարից տարբեր թվերից մեկը քաշելով կքաշենք ամենամեծը/փոքրը? Պատ. 1/4
2. Վերցնում ենք մի a թիվ, որքան է հավանականությունը, որ հաջորդ ընտրված թիվը կլինի նրանից մեծ կամ փոքր? Պատ. 1/3

Ուղղակի չեմ հասկանում, թե 1-ինը ինչ կապ ունի 2-րդ ի հետ

Հիմա որ մենք մի խաղ խաղանք - ես պատահական թիվ եմ մտապահում, դու մտապահում ես նույնպես պատահական մի թիվ, մոտավորապես 3-ից մի դեպքում նույն թիվը դուրս կգա՞:

[Varzor]

Հիմա որ մենք մի խաղ խաղանք - ես պատահական թիվ եմ մտապահում, դու մտապահում ես նույնպես պատահական մի թիվ, մոտավորապես 3-ից մի դեպքում նույն թիվը դուրս կգա՞:

Իհարկե ոչ: Նույն թիվը գուշակելուը հավանականությունը անհամեմատ ավելի փոքր է, համարյա 0-ին հավասար: Բայց դե դա կախված փորձերի քնակից հավանականությունը փոխվում է

Աաա, հասկացա ինչն ի նկատի ունես` եմ սխալ գրել 1/3-ը: Ախր արդեն մի քանի ձևով ապացուցեցինք, որ 1/2 է: Անուշադրության հետաևքն է: Պետք է լիներ այսպես.
[B]2. Վերցնում ենք մի a թիվ, որքան է հավանականությունը, որ հաջորդ ընտրված թիվը կլինի նրանից մեծ կամ փոքր? Պատ. 1/2[/B

[tikfiz]

Պետք չէ տենց բան անել` անիմաստ է:
Խնդրի լուծումն ԻՀԿ ակնհայտ է: Քանի որ պայմանի մեջ դրված էր, որ դրանք տարբեր թվեր են (նբշանակում է, որ նաև չեն կրկնվում), ապա դա նշանակում է, որ դրանցից մեկը անպայման մյուսներից մեծ պետք է լինի, իսկ այդպիսին կարող է լինել ցանկացածը հավասար հավանականությամբ` 1/4: 4 կամայական տարբեր թվերից մեկի որպես մեծ հանդես գալու հավանականությունը հավասար է 1-ի` պաևտադիր մեկը մեծ/փոքր է մյուսներից:
Ու դա նշանակում է, որ առաջինի որպես մեծ հանդես գալու հավանականությունը ուղղակի հավասար հավանականություն է` 1/4:

Դա ճիշտ է, բայց խնդիրը դա չէր: Խնդիրը 2րդ լուծման մեջ սխալը գտնելն էր:

[Varzor]

Դա ճիշտ է, բայց խնդիրը դա չէր: Խնդիրը 2րդ լուծման մեջ սխալը գտնելն էր:

Սխալը կայանում է լուծման տրամաբանությունում.

Լուծում 2
Պատահական ընտրում ենք մի թիվ: Որպեսզի այն լինի ամենամեծը, ապա մնացած 3 թվերն էլ պետք է լինեն այդ թվից փոքր:Յուրաքանչյուրի փոքր լինելու հավանականությունը հավասար է 1/2: Հետեվաբար հավանականությունը որ 3 թվերն էլ կլինեն ընտրված թվից փոքր հավասար է 1/2 * 1/2 * 1/2 հավասար է 1/8:
Ի՞նչն է սխալ:

Քանի որ ընտրված թվերը հայտնի են, միայն հայտնի չէ թե դրանք ինչպես են բաշխված շրջված թղթերի վրա, ուստի առաջին իսկ թիվը քաշելու պարագայում պարզ է լինում արդյոք այն ամենամեծն է, թե ոչ: ու մյուսների վերաբերյալ արդեն հավանականությունը հաշվելն անիմաստ է դառնում: Խնդիրը վերաբերվում է մեկ պատահույթի և պետք է հենց դրա հանդես գալու հավանականությունը որոշել, ոչ թե ևս երեք այլ պատահույթների հանդես գալոը հավանականությունը առաջինի հանդես գալուց հետո:

[armen9494]

Ժողովուրդ ինչի՞ եք խառնվել իրար:
Առաջին խնդիրը կարա՞մ սենց գրեմ՝
Ունենք չորս հատ թուղթ, ամեն մեկը մի գույնով՝ կապույտ, կանաչ, սպիտակ, կարմիր: Թղթերը շրջված դրած են սեղանի վրա:
Ինչքա՞ն է իմ հավանականությունը, որ ես կվերցնեմ կապույտ գույնի թուղթը: 1/4

Իսկ այ էս մի խնդիրը չեմ հասկանում: Չգիտեմ՝ դուք էս խնդիրն ի նկատի ունեիք, թե՞ չէ, բայց կխնդրեի այ էս մեկը բացատրեիք՝

Ունենք a թիվ: Ինչքա՞ն է հավանականությունը, որ պատահական ընտրած թիվը՝
1. մեծ կլինի a թվից:
2. փոքր կլինի a թվից:
3. հավասար կլինի a թվին: