Հավանականության տեսություն

[tikfiz]

Ես մի փոքր դժվար հարց ունեմ հավանականության տեսությունից:
4 պատահական միմիանցից տարբեր թվեր գրված են 4 թղթերի վրա և շրջած դրված են սեղանին: Պետք է գտնել նրանցից պատահականորեն ամենամեծ թիվը ընտրելու հավանականությունը:
Լուծում 1
Քանի որ 4 թվերից մեկն է ամենամեծը ապա այն ընտրելու հավանականությունը 1/4 է:
Լուծում 2
Պատահական ընտրում ենք մի թիվ: Որպեսզի այն լինի ամենամեծը, ապա մնացած 3 թվերն էլ պետք է լինեն այդ թվից փոքր: Յուրաքանչյուրի փոքր լինելու հավանականությունը հավասար է 1/2: Հետեվաբար հավանականությունը որ 3 թվերն էլ կլինեն ընտրված թվից փոքր հավասար է 1/2 * 1/2 * 1/2 հավասար է 1/8:
Ի՞նչն է սխալ:

[soultaker]

Ես մի փոքր դժվար հարց ունեմ հավանականության տեսությունից:
4 պատահական միմիանցից տարբեր թվեր գրված են 4 թղթերի վրա և շրջած դրված են սեղանին: Պետք է գտնել նրանցից պատահականորեն ամենամեծ թիվը ընտրելու հավանականությունը:
Լուծում 1
Քանի որ 4 թվերից մեկն է ամենամեծը ապա այն ընտրելու հավանականությունը 1/4 է:
Լուծում 2
Պատահական ընտրում ենք մի թիվ: Որպեսզի այն լինի ամենամեծը, ապա մնացած 3 թվերն էլ պետք է լինեն այդ թվից փոքր: Յուրաքանչյուրի փոքր լինելու հավանականությունը հավասար է 1/2: Հետեվաբար հավանականությունը որ 3 թվերն էլ կլինեն ընտրված թվից փոքր հավասար է 1/2 * 1/2 * 1/2 հավասար է 1/8:
Ի՞նչն է սխալ:

Ինչու՞:

[DavitH]

փորձմ մի քիչ պարզ բացատրեմ ունենք հետևյալ տարբերակները
1 ընտրած թիվը ամենամեծն ա
2 ընտրած թիվը մեծությամբ 2-րդն ա
3 ընտրած թիվը մեծությամբ 3-րդն ա
4 ընտրած թիվը մեծությամբ 4-րդն ա այսինքն ամենափոքրն ա

սրանք իրար հավասար պատահույթներ են ոհետաբար յուրաքանչյուրի հանդիպելու հավանականությունը 1/4 -ա

իսկ ինչի ա քո գրած 2-րդ տարբերակը սխալ
պատահականությունները կարաս բազմապատկես եթե պատահույթները անկախ են, իսկ էս դեպքում անկախ չեն

[tikfiz]

փորձմ մի քիչ պարզ բացատրեմ ունենք հետևյալ տարբերակները
1 ընտրած թիվը ամենամեծն ա
2 ընտրած թիվը մեծությամբ 2-րդն ա
3 ընտրած թիվը մեծությամբ 3-րդն ա
4 ընտրած թիվը մեծությամբ 4-րդն ա այսինքն ամենափոքրն ա

սրանք իրար հավասար պատահույթներ են ոհետաբար յուրաքանչյուրի հանդիպելու հավանականությունը 1/4 -ա

իսկ ինչի ա քո գրած 2-րդ տարբերակը սխալ
պատահականությունները կարաս բազմապատկես եթե պատահույթները անկախ են, իսկ էս դեպքում անկախ չեն

Ինչու՞ անկախ չեն: Օրինակ եթե բացում եմ 2-րդ թուղթը և տեսնում որ այնտեղ գրված թիվը իմ ընտրած թվից փոքր է ապա 3-րդ թվի իմ թվից փոքր լինելու հավանականությունը չի փոխվում նորից 1/2 է: Նաև 4-րդինը:

[tikfiz]

Ինչու՞:

Մեր ընտրած թիվը նշանակենք a: Որքա՞ն կլինի պատահական թվի a-ից փոքր լինելու հավանականությունը:

[Varzor]

Ինչու՞ անկախ չեն: Օրինակ եթե բացում եմ 2-րդ թուղթը և տեսնում որ այնտեղ գրված թիվը իմ ընտրած թվից փոքր է ապա 3-րդ թվի իմ թվից փոքր լինելու հավանականությունը չի փոխվում նորից 1/2 է: Նաև 4-րդինը:

Անկախ է մեկ բացված թղթի թվի մեծ լինել/չլինելու հանավանականությունը, բայց երկրորդի մեծ/փոքր լինելու պատահույթը անկախ չէ:

Խնդրի պայմանում հստակ նշված է, որ այդ պատահական թվերը միմյանցից տարբեր են, այսինքն հավանականությունը այն բանի, որ բրանցից մեկը մեծ է մյուսներից հավասար է 1-ի:
Արդեն խնդիրը կոնկրետանում է ու ամենամեծը քաշելու հավանականությունը անկախ. ունենք մի եռանկյուն հիմքով կանոնավոր բուգի տեսքով զառ, որի իստերին գրված են 1-ից 4 թվերը: Որքան է հավանականությունը, որ զառը նետելով կընկնի 4 թիվը?
1/4, քանի որ յուրքաքանչյուր թվի հանդես գալու հավանականությունը հավասար է մոյւսների հանդես գալու հավանականությանը:

[Varzor]

Մեր ընտրած թիվը նշանակենք a: Որքա՞ն կլինի պատահական թվի a-ից փոքր լինելու հավանականությունը:

1/3 հավասար հավանականությամբ պատահական ընտրված թիվը կարող է լինել մեծ, փոքր և հավասար a թվին:

[soultaker]

Մեր ընտրած թիվը նշանակենք a: Որքա՞ն կլինի պատահական թվի a-ից փոքր լինելու հավանականությունը:

Հավասար կլինի a-ից փոքր հնարավոր թվերի քանակը բաժանած բոլոր հնարավոր թվերի քանակին: Իսկ այդ քանակները մեզ որտեղի՞ց են հայտնի:

[Varzor]

Հավասար կլինի a-ից փոքր հնարավոր թվերի քանակը բաժանած բոլոր հնարավոր թվերի քանակին: Իսկ այդ քանակները մեզ որտեղի՞ց են հայտնի:

Բայց էդ պարագայում թվերի քանակն անվերջ է: Ըստ բազմությունների տեսանկյունից նայենք ու սահմանների վերածենք, ապա կստանանք 1/2: Բայց այդ մոտեցումը պրակտիկ չէ, և արդյունքը սխալ է ստացվում:
Եթե խնդիրը լիներ կոնկրետ դիսկրետ քանակով թվերի համախմբից ընտրություն կատարելու մասին, միգուցե և ճիշտ կլիներ, բայց խնդրի պահանջը պատահական թվերի հետ է կապված, ընդ որում բազմության քանակը հայտնի չէ:
Նորից վերածում եմ ավելի պարզ խնդրի.
Ունենք 3 թուղթ, մեկի վրա գրված է "a", մյուսի վրա "a-ից փոքր թիվ", երրորդի վրա "a-ից մեծ թիվ":
Որքան է հավանականությունը, որ կքաշեմ այն թուղթը, որի վրա գրված է "a-ից փոքր թիվ"? 1/3

[soultaker]

Բայց էդ պարագայում թվերի քանակն անվերջ է: Ըստ բազմությունների տեսանկյունից նայենք ու սահմանների վերածենք, ապա կստանանք 1/2: Բայց այդ մոտեցումը պրակտիկ չէ, և արդյունքը սխալ է ստացվում:
Եթե խնդիրը լիներ կոնկրետ դիսկրետ քանակով թվերի համախմբից ընտրություն կատարելու մասին, միգուցե և ճիշտ կլիներ, բայց խնդրի պահանջը պատահական թվերի հետ է կապված, ընդ որում բազմության քանակը հայտնի չէ:
Նորից վերածում եմ ավելի պարզ խնդրի.
Ունենք 3 թուղթ, մեկի վրա գրված է "a", մյուսի վրա "a-ից փոքր թիվ", երրորդի վրա "a-ից մեծ թիվ":
Որքան է հավանականությունը, որ կքաշեմ այն թուղթը, որի վրա գրված է "a-ից փոքր թիվ"? 1/3

Առաջին թիվը պատահականա ընտրված, իսկ 1/2 ասելով ենթադրվումա թե առաջին թիվը հավասար է 0-ի: Բայց օրինակ եթե թվերը -10 ... 10 միջակայքից են, ու առաջին թիվը -10-ա ընտրվել, հավանականությունը, որ հաջորդ թիվը իրանից փոքր կլինի, հավասարվումա 0-ի:

Իսկ 1/3-ի հետ կապված ենթադրությանդ մասին`
Դասախոսը հարցնում է ուսանողին:
- Ինչքա՞ն է հավանականությունը, որ վաղը տնից դուրս գալով դինոզավր կտեսնեք:
- 1/2:
- Ինչու՞:
- Դե երկու տարբերակ կա՝ կամ կտեսնեմ, կամ չեմ տեսնի:

[Varzor]

Առաջին թիվը պատահականա ընտրված, իսկ 1/2 ասելով ենթադրվումա թե առաջին թիվը հավասար է 0-ի: Բայց օրինակ եթե թվերը -10 ... 10 միջակայքից են, ու առաջին թիվը -10-ա ընտրվել, հավանականությունը, որ հաջորդ թիվը իրանից փոքր կլինի, հավասարվումա 0-ի:

Բայց խնդիրն ախր ուրիշ կերպ էր ձևակերպված: Ընտրված է մի պատահական թիվ` a: Ու ըստ այդմ ցանկացած հաջորդ ընտրված թիվ կամ մեծ է, կամ փոքր է, կամ էլ հավասար է: Եթե խնդրի պահանջը լիներ, որ a-ն նորից չի կարող ընտրվել, ապա ելնելով նրանից, որ թվային առանցքն անսահմանափակ է, կարելի է ընդունել, որ ընտրված թիվը սահմանային արժեքով կիսում է թվային առանցքը ու սովորական հատվածների ծածկույթի մեթոդով, ոնց որ դու արդեն ասեցիր, փոքր թվերի ու բոլոր թվերի հարաբերակցությունն է, որի Lim-ը կլինի 1/2: Սա ստանդարտ խնդիր է:
Երբ վերջավոր միջակայքի համար է լուծվում խնդիրը, ապա հավանականությունը միանշանակ կախված է ընտրված թվից, օրինակն արդեն բերել ես: Կոնկրետ օրինակով, եթե սահմանները m և n թվերն են և այդ միջակայքից ընտրված է a թիվը, ապա նրանից փոքր թվի հանդես գալու հավանականությունը կլինի p=(a-n)/(m-n) եթե ընտրված թիվը կարող է լինել նույն a-ն և p=(a-n)/(m-n-1), եթե ընտրված թիվը չի կարող կրնել a-ն : Կոնկրետ քո բերած օրինակի համար ([-10;10] միջակայք)` p=(a+10)/20 և բնականաբար a=-10-ի պարագայում p=0, ցանկացած պայմանի դեպքում: բայց եթե a<>-10, ապա կստանանք տարբեր արժեքներ, եթե երկու վերը նշված պայմանները քննարկենք: Օրինակ a=5, p=3/4 և p=15/19, եթե a-ի կրկնությունը բացառվում է: Ու ոնց նկատում ես հավանականութունն աճում է:
Հիմա դիտարկենք անվերջ թվերի դեպքում.
Այս պարագայում երբեք հավանականությունը չի կարող հավասար լինել 0-ի ու անկախ ընտրված թվից միշտ նույնը պետք է լինի:
p=(a-(-∞))/(+∞-(-∞)) սա կարող ենք գրել այսպես. p=(a+∞)/(2x∞)=1/2: բայց սա այն պարագայում, երբ a-ն չի կարող համընկնել պատահական ընտրված թվի հետ: Սակայն եթե կարող է, ապա հավանականությունը 1/3-է: Դա բացատրվում է նրանով, որ ցանկացած թվի ընտրվելու և հանդես գալու հավանականությունը հավասար է մեկ այլ թվի ընտրվելու հավանականությանը: Իսկ այդ ցանկացած թիվը կարող է լինել 3 տեսակի` >a, <a, =a: Այս երեք դեպքերի հավասար հանդես գալու հավանականությունը հեց 1/3-ն է:
Այնպես որ անվերջ տարբերակների մեջ հանդս գալու հավանականությունները միշտ էլ տաբերվում են վերջավոր տարբերակներից:

Իսկ 1/3-ի հետ կապված ենթադրությանդ մասին`
Դասախոսը հարցնում է ուսանողին:
- Ինչքա՞ն է հավանականությունը, որ վաղը տնից դուրս գալով դինոզավր կտեսնեք:
- 1/2:
- Ինչու՞:
- Դե երկու տարբերակ կա՝ կամ կտեսնեմ, կամ չեմ տեսնի:

Զուտ մաթեմատիկայի տեսանկյունից ուսանողը ճիշտ է: Եթե պատկերացնենք, որ ուսանողն ապրում էր մի 100մլն տարի առաջ, ապա դա նույնիսկ փոքր հավանականություն է

[tikfiz]

Առաջին թիվը պատահականա ընտրված, իսկ 1/2 ասելով ենթադրվումա թե առաջին թիվը հավասար է 0-ի: Բայց օրինակ եթե թվերը -10 ... 10 միջակայքից են, ու առաջին թիվը -10-ա ընտրվել, հավանականությունը, որ հաջորդ թիվը իրանից փոքր կլինի, հավասարվումա 0-ի:

Իսկ 1/3-ի հետ կապված ենթադրությանդ մասին`
Դասախոսը հարցնում է ուսանողին:
- Ինչքա՞ն է հավանականությունը, որ վաղը տնից դուրս գալով դինոզավր կտեսնեք:
- 1/2:
- Ինչու՞:
- Դե երկու տարբերակ կա՝ կամ կտեսնեմ, կամ չեմ տեսնի:

Այո, սակայն խնդրի մեջ ոչ մի սահման նշված չէ:

[tikfiz]

Բայց խնդիրն ախր ուրիշ կերպ էր ձևակերպված: Ընտրված է մի պատահական թիվ` a: Ու ըստ այդմ ցանկացած հաջորդ ընտրված թիվ կամ մեծ է, կամ փոքր է, կամ էլ հավասար է: Եթե խնդրի պահանջը լիներ, որ a-ն նորից չի կարող ընտրվել, ապա ելնելով նրանից, որ թվային առանցքն անսահմանափակ է, կարելի է ընդունել, որ ընտրված թիվը սահմանային արժեքով կիսում է թվային առանցքը ու սովորական հատվածների ծածկույթի մեթոդով, ոնց որ դու արդեն ասեցիր, փոքր թվերի ու բոլոր թվերի հարաբերակցությունն է, որի Lim-ը կլինի 1/2: Սա ստանդարտ խնդիր է:
Երբ վերջավոր միջակայքի համար է լուծվում խնդիրը, ապա հավանականությունը միանշանակ կախված է ընտրված թվից, օրինակն արդեն բերել ես: Կոնկրետ օրինակով, եթե սահմանները m և n թվերն են և այդ միջակայքից ընտրված է a թիվը, ապա նրանից փոքր թվի հանդես գալու հավանականությունը կլինի p=(a-n)/(m-n) եթե ընտրված թիվը կարող է լինել նույն a-ն և p=(a-n)/(m-n-1), եթե ընտրված թիվը չի կարող կրնել a-ն : Կոնկրետ քո բերած օրինակի համար ([-10;10] միջակայք)` p=(a+10)/20 և բնականաբար a=-10-ի պարագայում p=0, ցանկացած պայմանի դեպքում: բայց եթե a<>-10, ապա կստանանք տարբեր արժեքներ, եթե երկու վերը նշված պայմանները քննարկենք: Օրինակ a=5, p=3/4 և p=15/19, եթե a-ի կրկնությունը բացառվում է: Ու ոնց նկատում ես հավանականութունն աճում է:
Հիմա դիտարկենք անվերջ թվերի դեպքում.
Այս պարագայում երբեք հավանականությունը չի կարող հավասար լինել 0-ի ու անկախ ընտրված թվից միշտ նույնը պետք է լինի:
p=(a-(-∞))/(+∞-(-∞)) սա կարող ենք գրել այսպես. p=(a+∞)/(2x∞)=1/2: բայց սա այն պարագայում, երբ a-ն չի կարող համընկնել պատահական ընտրված թվի հետ: Սակայն եթե կարող է, ապա հավանականությունը 1/3-է: Դա բացատրվում է նրանով, որ ցանկացած թվի ընտրվելու և հանդես գալու հավանականությունը հավասար է մեկ այլ թվի ընտրվելու հավանականությանը: Իսկ այդ ցանկացած թիվը կարող է լինել 3 տեսակի` >a, <a, =a: Այս երեք դեպքերի հավասար հանդես գալու հավանականությունը հեց 1/3-ն է:
Այնպես որ անվերջ տարբերակների մեջ հանդս գալու հավանականությունները միշտ էլ տաբերվում են վերջավոր տարբերակներից:

Զուտ մաթեմատիկայի տեսանկյունից ուսանողը ճիշտ է: Եթե պատկերացնենք, որ ուսանողն ապրում էր մի 100մլն տարի առաջ, ապա դա նույնիսկ փոքր հավանականություն է

խնդրի մեջ նշված է, որ a-ն չի կարող կրկնվել: գրված է "միմիանցից տարբեր թվեր": Բայց a-ն ընտրելու հավանականությունը ոչ թե 1/3 է այլ 0;

[Varzor]

խնդրի մեջ նշված է, որ a-ն չի կարող կրկնվել: գրված է "միմիանցից տարբեր թվեր":

Եղբայր, քո գրածում տենց բան կա?

Մեր ընտրած թիվը նշանակենք a: Որքա՞ն կլինի պատահական թվի a-ից փոքր լինելու հավանականությունը:

Միմյանցից տարբեր թվերը նախորդ խնդրի պայմանը չէր?

[tikfiz]

Անկախ է մեկ բացված թղթի թվի մեծ լինել/չլինելու հանավանականությունը, բայց երկրորդի մեծ/փոքր լինելու պատահույթը անկախ չէ:

Խնդրի պայմանում հստակ նշված է, որ այդ պատահական թվերը միմյանցից տարբեր են, այսինքն հավանականությունը այն բանի, որ բրանցից մեկը մեծ է մյուսներից հավասար է 1-ի:
Արդեն խնդիրը կոնկրետանում է ու ամենամեծը քաշելու հավանականությունը անկախ. ունենք մի եռանկյուն հիմքով կանոնավոր բուգի տեսքով զառ, որի իստերին գրված են 1-ից 4 թվերը: Որքան է հավանականությունը, որ զառը նետելով կընկնի 4 թիվը?
1/4, քանի որ յուրքաքանչյուր թվի հանդես գալու հավանականությունը հավասար է մոյւսների հանդես գալու հավանականությանը:

Դա իմ գրած առաջին լուծումն էր: