Մաթեմատիկական ինդուկցիայով շատ հեշտ ապացուցվում է:
Դիցուք, ենթադրում ենք, որ n թվի համար անհավասարությունը ճիշտ է:
n/2<1+1/2+1/3+1/4...+1/(2^(n) - 1)
Եթե այն ճիշտ լինի ցանկացած n+1 թվի համար, ուրեմն պնդումն ապացուցված է:
Գրենք n+1 դեպքը` քայլ առ քայլ
1. (n+1)/2 < 1+1/2+1/3+1/4...+1/(2^(n) - 1) + 1/ (2^(n+1) - 1)
2. n/2 + 1/2 < 1+1/2+1/3+1/4...+1/(2^(n) - 1) + 1/ (2^(n+1) - 1)
3. n/2 < 1+1/2+1/3+1/4...+1/(2^(n) - 1) + 1/ (2^(n+1) - 1) - 1/2
մյուս կողմից ունենք , որ
n/2<1+1/2+1/3+1/4...+1/(2^(n) - 1)
Այսինքն, եթե .
1+1/2+1/3+1/4...+1/(2^(n) - 1) + 1/ (2^(n+1) - 1) - 1/2 < 1+1/2+1/3+1/4...+1/(2^(n) - 1) , ապա նախնական անհավասարումն ապացուցված է:
(Այն տրամաբանությամբ, որ եթե n/2-ը համեմատաբար մեծ թվից փոքր է, ապա նրանից փոքր թվից առավել ևս փոքր կլինի)
Քանի որ անհավասարման երկու կողմերում գտնվող կրկնվող գումարելիները կրճատվում են, արդյունքում մնում է.
- 1/ (2^(n+1) - 1) - 1/2 < 0
- 2^(n+1) > 2^1
- n+1> 1
- n>0
Ինչն էլ ճիշտ է ցանկացած դեպքում, քանի որ n-ը բնական թիվ է:
Ուստի պնդումն ապացուցված է:
Էջանիշներ