2010

[MSGM]

Ես էլ փորձեմ հանման դեպքը:

x^2-y^2=2010
(x-y)(x+y)=2010

2010=2*3*5*67

Կարող ենք դիտարկել 2^4=16 դեպք` փորձելով բոլոր հնարավոր x-y և x+y զույգերը ( ասենք` x-y=2; x+y=3*5*67 ): Բոլոր այդ դեպքերում ունենում ենք 2 հավասարումների համակարգեր հետևյալ տեսքով.
x+y=p
x-y=q
Գումարելով այս երկու հավասարումները` ստանում ենք
2x=p+q
Հետևում է, որ p+q պետք է զույգ լինի, այսինքն կամ p-ն էլ q-ն էլ զույգ են, կամ երկուսն էլ կենտ: Առաջինը հնարավոր չէ, քանի որ եթե p-ն զույգ է, ապա այն պարունակում է 2 արտադրիչը, ուրեմն q-ն չի պարունակում (որովհետև մի հատ 2 ունենք) և զույգ չէ: Երկրորդը հնարավոր չէ, քանի որ կամ p-ն, կամ q-ն պիտի 2ը պարունակեն, հետևաբար մեկնումեկը զույգ կլինի:

[petros59]

Ապացուցել, որ 2010-ը հնարավոր չէ ներկայացնել երկու բնական թվերի խորանարդների գումարի կամ տարբերության տեսքով:

[MSGM]

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
2010=2*3*5*67

Այստեղ նույնպես կարող ենք դիտարկել 16 դեպք: Բոլորում էլ կունենանք հետևյալ համակարգը.

x+y=p
x^2-xy+y^2=q

x^2+2xy+y^2=p^2 (1)
x^2-xy+y^2=q (2)

(1)ից հանենք (2)ը

3xy=p^2+q

Այսինքն p^2+q պետք է բաժանվի 3ի, որը հնարավոր չէ, քանի որ 2010-ում պարունակվող միակ 3ը p-ից ու q-ից մեկնումեկի բաղադրիչն է, հետևաբար մյուսը 3-ի չի բաժանվում, ուրեմն p^2+q-ն էլ չի կարող բաժանվել 3ի:

x^3-y^3 դեպքը կարելի է ապացուցել նույն ձևով: