2010

[petros59]

Առաջարկում եմ այստեղ քննարկենք 2010-ի հատկություններին վերաբերվող հարցեր:
Օրինակ. ապացուցել, որ 2010-ը հնարավոր չէ ներկայացնել երկու թվերի քառակուսիների գումարի կամ տարբերության տեսքով:

[*e}|{uka*]

Փորձեմ: Բայց գումարման համար:

Գտնենք այնպիսի x և y, որոնց քառակուսիների գումարը հավասար լինի 2010-ի:
Թիվը բաժանվում է երեքի վրա, եթե այդ թվի գումարելիների գումարը բաժանվում է 3-ի: 2010-ը բաժանվում է երեքի վրա: Նույն էլ 9-ը թվի մասին կարելի է ասել: Բայց արի ու տես, որ 2010-ը չի բաժանվում 9-ի վրա: Եթե երկու անհայտներն էլ բաժանվեին երեքի վրա, ապա իրենց քառակուսիները պետք է բաժանվեն 9-ի վրա: Եվ գումարը նույնպես պետք է բաժանվեր: , բայց 2010 -ը չի բաժանվում, ուրեմն անհայտներից մեկը երեքի վրա չի բաժանվում:
Ենթադրենք x-ը բաժանվում է երեքի վրա, իսկ y-ը չի բաժանվում: Այդ դեպքում x^2 բաժանվում է 9-ի վրա, իսկ y^2-ը չի բաժանվում: Եվ գումարը բնականաբար չի բաժանվի երեքի վրա : Իսկ 2010-ը այդ դեպքում բաժանվում է:
Ուրեմն երկու անհայտն էլ 3-ի չեն բաժանվում:
Վերցնենք x-ը: Եթե բաժանենք այն 3-ի վրա, մնացորդում կստանանք կամ 1, կամ 2: x^2 երեքի վրա բաժանելիս ստացվում է մնացորդում 1:
Մանրամասն բացատրեմ: Եթե x = 3*n+1, ապա x^2 = (3*n+1)^2 = 9*n^2 + 6*n + 1: 3-ի վրա բաժանելիս մնացորդում ստացվում է 1: Իսկ եթե x = 3*n+2, ապա x^2 = (3*n+2)^2 = 9*n^2 + 12*n + 4: Բաժանում ենք 3-ի վրա մնացորդում ստանում ենք 1: Ուրեմն x^2 և y^2 -ը 3-ի վրա բաժանելիս մնացորդը տալիս է 1: Գումարելով, երեքի վրա բաժանելիս, մնացորդում ստացվում է 2: Իսկ 2010-ը երեքի վրա բաժանելիս չի տալիս երկու մնացորդ:
Ստացվում է, որ չկան այնպիսի ամբողջ թվեր, որոնց քառակուսիների գումարը տա 2010:

[MSGM]

Ես էլ փորձեմ հանման դեպքը:

x^2-y^2=2010
(x-y)(x+y)=2010

2010=2*3*5*67

Կարող ենք դիտարկել 2^4=16 դեպք` փորձելով բոլոր հնարավոր x-y և x+y զույգերը ( ասենք` x-y=2; x+y=3*5*67 ): Բոլոր այդ դեպքերում ունենում ենք 2 հավասարումների համակարգեր հետևյալ տեսքով.
x+y=p
x-y=q
Գումարելով այս երկու հավասարումները` ստանում ենք
2x=p+q
Հետևում է, որ p+q պետք է զույգ լինի, այսինքն կամ p-ն էլ q-ն էլ զույգ են, կամ երկուսն էլ կենտ: Առաջինը հնարավոր չէ, քանի որ եթե p-ն զույգ է, ապա այն պարունակում է 2 արտադրիչը, ուրեմն q-ն չի պարունակում (որովհետև մի հատ 2 ունենք) և զույգ չէ: Երկրորդը հնարավոր չէ, քանի որ կամ p-ն, կամ q-ն պիտի 2ը պարունակեն, հետևաբար մեկնումեկը զույգ կլինի:

[petros59]

Ապացուցել, որ 2010-ը հնարավոր չէ ներկայացնել երկու բնական թվերի խորանարդների գումարի կամ տարբերության տեսքով:

[MSGM]

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
2010=2*3*5*67

Այստեղ նույնպես կարող ենք դիտարկել 16 դեպք: Բոլորում էլ կունենանք հետևյալ համակարգը.

x+y=p
x^2-xy+y^2=q

x^2+2xy+y^2=p^2 (1)
x^2-xy+y^2=q (2)

(1)ից հանենք (2)ը

3xy=p^2+q

Այսինքն p^2+q պետք է բաժանվի 3ի, որը հնարավոր չէ, քանի որ 2010-ում պարունակվող միակ 3ը p-ից ու q-ից մեկնումեկի բաղադրիչն է, հետևաբար մյուսը 3-ի չի բաժանվում, ուրեմն p^2+q-ն էլ չի կարող բաժանվել 3ի:

x^3-y^3 դեպքը կարելի է ապացուցել նույն ձևով: