Բաժանելիության հայտանիշներ

[Արիացի]

Դեռևս փոքր տարիքից, հավանաբար երկրորդ դասարանից, մեծ հետաքրքրությամբ ու հիացմունքով էի վերաբերվում թվերի բաժանելիության հայտանիշներին: Դրանք մի փոքր հրաշքի նման բաներ էին, որոնք զարմացնում էին ինձ: Հետագայում, գիտելիքների ավելացման հետ, պարզվեց, որ ոչ մի հրաշք էլ չկա
Այս թեմայում ուզում եմ նշել ինձ հայտնի թվերի բաժանելիության հայտանիշները ու դրանցից կարևորների ապացույցը: Կնշեմ բոլոր միանիշ թվերի բաժանելիության հայտանիշները հերթականությամբ, ինչպես նաև 11-ի ու 13-ի հայտանիշները ու մի քանի ընդհանուր պնդումներ: Սկսենք տարրական պնդումներից, հետագայում կընդլայնենք:

Եվ այսպես.
2-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է երկուսի, եթե նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 2-ի, այսինքն՝ վերջանում է 0,2,4,6,8 թվանշաններով:
Դե սա կարծում եմ ապացույցի կարիք չունի:

3-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է 3-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի:
Ապացույց:
Ենթադրենք ունենք որևէ n թվանշան ունեցող թիվ` x: Նշանակենք նրա թվանշանները` x_1, x_2, ..., x_n: x թիվը կարելի է ներկայացնել, հետևյալ տեսքով`

x = x_n + 10*x_n-1 + 100 * x_n-2 + ... + 10^n * x_1 = (x_n + x_n-1 + x_n-2 + ... + x_1) + (9* x_n-1 + 99*x_n-2 + 999*x_n-2 + ... + 9....9 * x_1)

Պարզ է, որ այս հավասարության աջ մասի վերջին գումարելին բաժանվում է 3-ի (քանի որ այն 9-ի պատիկ է, իսկ 9-ը բաժանվում է 3-ի), իսկ առաջին գումարելի, սկզբնական թվի թվանշանների գումարն է, հետևաբար, եթե այն բաժանվի 3-ի, ապա ամբողջ թիվը նույնպես կբաժանվի 3-ի:

4-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է 4-ի, եթե նրա վերջին երկու թվանշաններից կազմված երկնիշ թիվը բաժանվում է 4-ի:
Ապացույց:
Ենթադրենք ունենք x թիվը: Նշանակենք նրա վերջին երկու թվանշանները a և b, իսկ մնացած մասը մեկ ընդհանուր C սիմվոլով: Այս դեպքում x թիվը կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով`

x = 100*C + ab

քանի որ 100-ը բաժանվում է 4-ի, ապա բավական է, որ ab երկնիշ թիվը բաժանվի 4-ի, որպեսզի ամբողջ x թիվը բաժանվի 4-ի:

5-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է 5-ի, եթե նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 5-ի, այսինքն` վերջին թվանշանը 0 է կամ 5:
Սա նույնպես ակնհայտ է:

6-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է 6-ի, եթե այն բաժանվում է 2-ի և 3-ի, այսինքն` այն զույգ է և նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի:
Սա բխում է այն բանից, որ եթե թիվը բաժանվում է, որևէ այլ թվի բաժանարարներին, ապա այն բաժանվում է նաև այդ թվին:

7-ի բաժանելիության հայտանիշը հիմա բաց եմ թողնում, կբերեմ մի քիչ ուշ, քանի որ այն մի քիչ այլ կարգի դատողություններ է պահանջում:

8-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է 8-ի, եթե նրա վերջին երեք թվանշաններից կազմված եռանիշ թիվը բաժանվում է 8-ի:
Ապացույց:
Ենթադրենք ունենք x թիվը: Նշանակենք նրա վերջին երեք թվանշանները a, b, c իսկ մնացած մասը մեկ ընդհանուր D սիմվոլով: x թիվը կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով`

x = 1000*D + abc

քանի որ 1000-ը բաժանվում է 8-ի, ապա բավական է, որ abc-ն բաժանվի 8-ի, որպեսզի ամբողջ x թիվը բաժանվի 8-ի:

9-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է 9-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի:
Ապացույցը նույնն է, ինչ 3-ի հայտանիշի դեպքում:

10-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է տասի, եթե այն վերջանում է 0-ով:
Սա նույնպես ակնհայտ է:

[Ձայնալար]

Մենակ մի լրացում, էս բաժանելիության հայտանիշներն ավելի ինֆորմատիվ են, եթե «եթե»-ի փոխարեն ասենք «այն և միայն այն դեպքում»: Թիվը բաժանվում է 2-ի այն և միայն այն դեպքում, եթե նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 2-ի: Սա նշանակում է նաև, որ եթե թիվը բաժանվում է երկուսի, ապա նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է երկուսի: Վարժարանական ջահելությունս հիշեցի

[Rammstein]

11-ի բաժանելիության հայտանիշատիպ մի բան (ես հենց նոր հորինեցի , բայց դե վստահ եմ, որ արդեն եղած կլինի):
եթե թիվը n նիշանի է, ապա գրում ենք առաջին n-2 նիշը (բաց ենք թողնում վերջին երկուսը), ու դրանից հանում ենք մեր թվի նախավերջին նիշը: Սա անում ենք այնքան, մինչեւ հանելուց հետո ստացվի միանիշ թիվ: Հետո էդ միանիշ թվի կողքին դնում ենք մեր սկզբնական թվի վերջին նիշը, ու եթե թիվը բաժանվում է 11-ի, ապա սկզբնականն էլ է բաժանվում 11-ի:

Օրինակ` դիտարկենք 724284 թիվը: 7242-8=7234, հետո 723-4=719, այնուհետ` 71-9=62, եւ վերջում` 6-2=4: Ստացված 4-ի կողքը գրում ենք մեր սկզբնական` 724284-ի վրջին թվանշանը, ու ստանում ենք 44, որը անմնացորդ բաժանվում է 11-ի:

Ավելի պարզ օրինակ` 682 թիվը նայենք: 6-8=–2: –22-ը բաժանվում է 11-ի:

[Արիացի]

Մենակ մի լրացում, էս բաժանելիության հայտանիշներն ավելի ինֆորմատիվ են, եթե «եթե»-ի փոխարեն ասենք «այն և միայն այն դեպքում»: Թիվը բաժանվում է 2-ի այն և միայն այն դեպքում, եթե նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 2-ի: Սա նշանակում է նաև, որ եթե թիվը բաժանվում է երկուսի, ապա նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է երկուսի: Վարժարանական ջահելությունս հիշեցի

Ճիշտ ես Բագրատ ջան, բայց քանի որ անունը դրել էի հայտանիշներ, էլ ավտոմատ ձևակերպումները "եթե"-ով գնացին

[Արիացի]

11-ի բաժանելիության հայտանիշատիպ մի բան (ես հենց նոր հորինեցի , բայց դե վստահ եմ, որ արդեն եղած կլինի):
եթե թիվը n նիշանի է, ապա գրում ենք առաջին n-2 նիշը (բաց ենք թողնում վերջին երկուսը), ու դրանից հանում ենք մեր թվի նախավերջին նիշը: Սա անում ենք այնքան, մինչեւ հանելուց հետո ստացվի միանիշ թիվ: Հետո էդ միանիշ թվի կողքին դնում ենք մեր սկզբնական թվի վերջին նիշը, ու եթե թիվը բաժանվում է 11-ի, ապա սկզբնականն էլ է բաժանվում 11-ի:

Օրինակ` դիտարկենք 724284 թիվը: 7242-8=7234, հետո 723-4=719, այնուհետ` 71-9=62, եւ վերջում` 6-2=4: Ստացված 4-ի կողքը գրում ենք մեր սկզբնական` 724284-ի վրջին թվանշանը, ու ստանում ենք 44, որը անմնացորդ բաժանվում է 11-ի:

Ավելի պարզ օրինակ` 682 թիվը նայենք: 6-8=–2: –22-ը բաժանվում է 11-ի:

Ռամշտայն ջան, պնդումը ճիշտ ա ուղղակի ձևակերպումն ա մի քիչ անհստակ: Տամ 11-ի բաժանելիության հստակ հայտանիշը:
Նախ տամ մի սահմանում:
Դիցուք ունենք x թիվը, որի թվանշաններն են` x_1, x_2, ..., x_n: x թվի թվանշանների նշանափոխ գումար կանվանենք հետևյալ արտահայտության արժեքը`

x_1-x_2+x_3-x_4+...+(-1)^(n-1)*x_n

Այսինքն թվանշանները հերթականությամբ մեկ գումարում ենք մեկ հանում:

11-ի բաժանելիության հայտանիշը
x թիվը բաժանվում է 11-ի այն և միայն այն դեպքում, եթե նրա նշանափոխ գումարը բաժանվում է 11-ի:
Ապացույցը հիմա չեմ բերի, քանի որ ժամանակ չունեմ: Բայց հետո անպայման կբերեմ:
Հիմա ուղղակի դիտարկենք վերևի օրինակները`
724284

7-2+4-2+8-4=11

11-ը բաժանվում է 11-ի հետևաբար 724284 թիվը բաժանվում է 11-ի:

682

6-8+2=0

0-ն բաժանվում է 11-ի հետևաբար 682-ը նույնպես բաժանվում է 11-ի:

[Մանուլ]

7-ի բաժանելիության հայտանիշը հիմա բաց եմ թողնում, կբերեմ մի քիչ ուշ, քանի որ այն մի քիչ այլ կարգի դատողություններ է պահանջում:

7-ի բաժանելիության հայտանիշ էլ կա՞

[Արիացի]

11-ի բաժանելիության հայտանիշը
x թիվը բաժանվում է 11-ի այն և միայն այն դեպքում, եթե նրա նշանափոխ գումարը բաժանվում է 11-ի:

Ապացույց:
Դիցուք ունենք x թիվը ու նրա թվանշաններն են` x_1, x_2, x_3, ..., x_n: x թիվը կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով`

x=10^(n-1)*x_1+10^(n-2)*x_2+10^(n-3)*x_3+...+x_n=(x_n - x_n-1 + x_n-2 - x_n-3 + ... + (-1)^(n-1)*x_1) + (11*x_n-1 + 99*x_n-2 + 1001*x_n-3 + 9999 * x_n-4 + ... )

Դիտարկենք այս հավասարության աջ մասին վերջին գումարելին`(11*x_n-1 + 99*x_n-2 + 1001*x_n-3 + 9999 * x_n-4 + ... ): Այս արտահայտության մեջ գումարելիների մի մասը իրենցից ներկայացնում են զույգ նշանի 9-երի բազմապատիկ, այսինքն 99-ի պատիկ, իսկ մյուս մասը` 100...001 տիպի թվերի պատիկ, որոնցում 0-երը զույգ քանակի են: Այս երկու տիպի թվերն էլ բաժանվում են 11-ի: Իրոք` 99-ի պատիկները բաժանվում են, քանի որ 99 է բաժանվում, իսկ 100...001 տիպի թվերը, նույնպես բաժանվում են`
100...001/11=19...91, որտեղ 9-երը 1 հատով պակաս են 0-ներից: Փաստորեն վերևի արտահայտության աջ մասի երկրորդ գումարելին բաժանվում է 11-ի, իսկ առաջին մասը x-ի նշանափոխ գումարն է: Հետևաբար, նշանափոխ գումարի 11-ի բաժանվելու դեպքում, x-ը նույնպես կբաժանվի 11-ի, և հակառակը:

[Արիացի]

... իսկ 100...001 տիպի թվերը, նույնպես բաժանվում են`
100...001/11=19...91, որտեղ 9-երը 1 հատով պակաս են 0-ներից:

Կներեք, էս մասը խաբել եմ:
Իրականում 100...001 տիպի թվերի համար 100...001/11=9090...91, որտեղ 9-երի ու 0-ների ընդհանուր քանակը մեկով պակաս է սկզբնական թվի 0-ների քանակից:

[Արիացի]

7-ի բաժանելիության հայտանիշ էլ կա՞

Բերեմ 7-ի և 13-ի բաժանելիության հայտանիշները:
Սահմանում:Դիցուք ունենք x թիվը, որի թվանշաններն են x_1, x_2, ..., x_n: x թվի 3-նշանափոխ գումար կանվանենք, նրա թվանշանների եռյակների նշանափոխ գումարը, որտեղ եռյակները կազմվում են սկսած վերջից: Այսինքն` հետևյալ արտահայտությունը.

x_n, x_n-1, x_n-2 - x_n-3, x_n-4, x_n-5 + ... + (-1)^([n/3]-1)x_3, x_2, x_1

նշենք, որ վերջին գումարելին կարող է լինել նաև երկնիշ, կամ միանիշ, կախված թվի թվանշանների քանակից:
7-ի և 13-ի բաժանելիության հայտանիշը Թիվը բաժանվում է 7-ի(13-ի), եթե նրա 3-նշանափոխ գումարը բաժանվում է 7-ի(13-ի):
Ապացույցը նման է 11-ի բաժանելիության հայտանիշի ապացույցին ուղղակի ստացվող թվերը այլ են`1001, 999999, 1000000001, 999999999999: Այսինքն 9999999-ի կրկնություններ, որոնք բաժանվում են 7-ի և 13-ի (կարող եք համոզվել կալկուլատորով ), կամ էլ 100..001 տեսքի թվեր, որոնցում 0-ների քանակը 6n+1 է: Նախ 1001-ը բաժանվում է 7-ի և 13-ի (նույնպես կարող եք համոզվել համապատասխան սարքով): Իսկ եթե կամայական այս տիպի թվից հանենք 1001, ապա կստանանք 999999-ի կրկնություն ու վերջում 00, իսկ սրանք բաժանվում են 7-ի և 13-ի:

Բերենք մի օրինակ:
Դիտարկենք հետևյալ թիվը`3204684: Սրա 3-նշանափոխ գումարը կլինի`

684-204+3=483

483-ը բաժանվում է 7-ի` 483/7=69: Հետևաբար 3204684 թիվը բաժանվում է 7-ի: Եվ իրոք` 3204684/7=457812: