Բաժանելիության հայտանիշներ

[Արիացի]

11-ի բաժանելիության հայտանիշը
x թիվը բաժանվում է 11-ի այն և միայն այն դեպքում, եթե նրա նշանափոխ գումարը բաժանվում է 11-ի:

Ապացույց:
Դիցուք ունենք x թիվը ու նրա թվանշաններն են` x_1, x_2, x_3, ..., x_n: x թիվը կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով`

x=10^(n-1)*x_1+10^(n-2)*x_2+10^(n-3)*x_3+...+x_n=(x_n - x_n-1 + x_n-2 - x_n-3 + ... + (-1)^(n-1)*x_1) + (11*x_n-1 + 99*x_n-2 + 1001*x_n-3 + 9999 * x_n-4 + ... )

Դիտարկենք այս հավասարության աջ մասին վերջին գումարելին`(11*x_n-1 + 99*x_n-2 + 1001*x_n-3 + 9999 * x_n-4 + ... ): Այս արտահայտության մեջ գումարելիների մի մասը իրենցից ներկայացնում են զույգ նշանի 9-երի բազմապատիկ, այսինքն 99-ի պատիկ, իսկ մյուս մասը` 100...001 տիպի թվերի պատիկ, որոնցում 0-երը զույգ քանակի են: Այս երկու տիպի թվերն էլ բաժանվում են 11-ի: Իրոք` 99-ի պատիկները բաժանվում են, քանի որ 99 է բաժանվում, իսկ 100...001 տիպի թվերը, նույնպես բաժանվում են`
100...001/11=19...91, որտեղ 9-երը 1 հատով պակաս են 0-ներից: Փաստորեն վերևի արտահայտության աջ մասի երկրորդ գումարելին բաժանվում է 11-ի, իսկ առաջին մասը x-ի նշանափոխ գումարն է: Հետևաբար, նշանափոխ գումարի 11-ի բաժանվելու դեպքում, x-ը նույնպես կբաժանվի 11-ի, և հակառակը: