Անվերջ փոքրեր

[Ռեդ]

Հարցս ուղղում եմ մաթեմ իմացողներին:

Ինչ որ մեկը կարող է նորմալ բացատրել, ասենք, Աքիլլեսի և կրիայի խնդիրը, որը անցել ենք դպրոցում անվերջ փոքրեր դասում:
Կամ էլ հատևյալ խնդիրը.
Ենթադրենք` ունենք ԱԲ հատվածը, իսկ Ա1-ը միջնակետն է: Եվ ընդհանրապես, Աn կետը Ա(n-1)Բ-ի միջնակետն է:
Ա--------------------Ա1----------------------Բ
Ստացվում է, որ ԱnԲ=ԱԲ/(2^n)
Ա կետից սկսում ենք շարժվել Բ-ն, առանց կանգ առնելու: Անպայման Բ-ն հասնելու համար պետք է անցնենք Ա1-ով, նույն կերպ Ա1-ից Բ հասնելու համար պետք է անցնենք Ա1Բ-ի միջնակետով`Ա2-ով և այլն...
Քանի որ վերջում անպայման կհասնենք Բ կետին, ուրեմն ինչ որ մի k-ի համար ԱkԲ=0 =>ԱԲ=0 ??? : Սակայն դա հնարավոր չէ: Ուրեմն երբեք չենք հասնի Բ-ին??????

[WArmanW]

Եթե նյութական կետերի մասինա խոսքը, ուրեմն անվերջա: Հակառակ դեպքում կգա մի պահ, երբ կրիայի ոտիկ մեծ կլինի մնացած ճանապարհից: Ես միշտ սենց եմ բացատրություն տվել ինձ:


Հ.Գ. կարողա տենց չի՞:

[Yellow Raven]

Անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա
Ավելի ընդհանուր դեպքում ստեղ սաղ սահմանների հետա կապված:
Լիմեսը չգիտես ինչա,որ սենց բան ես հարցնում
Թե ես լավ չհասկացա հարցդ?

[Ռեդ]

Եթե նյութական կետերի մասինա խոսքը, ուրեմն անվերջա: Հակառակ դեպքում կգա մի պահ, երբ կրիայի ոտիկ մեծ կլինի մնացած ճանապարհից: Ես միշտ սենց եմ բացատրություն տվել ինձ:


Հ.Գ. կարողա տենց չի՞:

Խոսքը իհարկե նյութական կետերի մասին է: Այդ դեպքում պատասխանիր հատվածների խնդրին, միթե երբեք չենք հասնի Բ-ին????

Ավելացվել է 8 րոպե անց

Անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա
Ավելի ընդհանուր դեպքում ստեղ սաղ սահմանների հետա կապված:
Լիմեսը չգիտես ինչա,որ սենց բան ես հարցնում
Թե ես լավ չհասկացա հարցդ?

Դե lim-երի հիմքը անվերջ փոքրերն են

[Vahagn_IV]

Հարցս ուղղում եմ մաթեմ իմացողներին:

Ինչ որ մեկը կարող է նորմալ բացատրել, ասենք, Աքիլլեսի և կրիայի խնդիրը, որը անցել ենք դպրոցում անվերջ փոքրեր դասում:
Կամ էլ հատևյալ խնդիրը.
Ենթադրենք` ունենք ԱԲ հատվածը, իսկ Ա1-ը միջնակետն է: Եվ ընդհանրապես, Աn կետը Ա(n-1)Բ-ի միջնակետն է:
Ա--------------------Ա1----------------------Բ
Ստացվում է, որ ԱnԲ=ԱԲ/(2^n)
Ա կետից սկսում ենք շարժվել Բ-ն, առանց կանգ առնելու: Անպայման Բ-ն հասնելու համար պետք է անցնենք Ա1-ով, նույն կերպ Ա1-ից Բ հասնելու համար պետք է անցնենք Ա1Բ-ի միջնակետով`Ա2-ով և այլն...
Քանի որ վերջում անպայման կհասնենք Բ կետին, ուրեմն ինչ որ մի k-ի համար ԱkԲ=0 =>ԱԲ=0 ??? : Սակայն դա հնարավոր չէ: Ուրեմն երբեք չենք հասնի Բ-ին??????

Հաշվենք այն ժամանակը, որը պետք կգա Աքիլլեսին անցնել այդ ճանապարհը:
n-րդ հատվածը անցնելու համար այն հավասար է dt_n= (1/v)(S/2^n), որտեղ v-ն Աքիլլեսի ու կրիայի հարաբերական արագությունն է, S-ը նրանց սկզբնական հեռավորությունը: Բնականաբար, ընդհանուր ժամանակը կլինի այդ dt_n-րի գումարը, թրը, ինչպես նշվեց նվազող երկրաճափական պրոգրեսսիայի գումար է: Վերջնականապես ստանում ենք t=dt_1+dt_2+...=S/v: Ակնհայտ պատասխան:

[ChildOfTheSky]

Եթե մենք շարժվում ենք Ա-ից Բ , ապա անպայման կհասնենք , սակայն եթե շարժվում ենք Ա-ից Ա1 , Ա1-ից Ա2 , ... , Աn-ից Աn+1 , ... ; ապա չենք հասնի Բ-ին , այլ անվերջ կմոտենանք :

[Ռեդ]

Հաշվենք այն ժամանակը, որը պետք կգա Աքիլլեսին անցնել այդ ճանապարհը:
n-րդ հատվածը անցնելու համար այն հավասար է dt_n= (1/v)(S/2^n), որտեղ v-ն Աքիլլեսի ու կրիայի հարաբերական արագությունն է, S-ը նրանց սկզբնական հեռավորությունը: Բնականաբար, ընդհանուր ժամանակը կլինի այդ dt_n-րի գումարը, թրը, ինչպես նշվեց նվազող երկրաճափական պրոգրեսսիայի գումար է: Վերջնականապես ստանում ենք t=dt_1+dt_2+...=S/v: Ակնհայտ պատասխան:

Նույն հարցը ես կարող եմ տալ անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի մասին:
Սակայն լիարժեք պատասխան չեմ ստացել

[Vahagn_IV]

Նույն հարցը ես կարող եմ տալ անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի մասին:
Սակայն լիարժեք պատասխան չեմ ստացել

Ի՞նչ հարցի մասին է խոսքը: Կարո՞ղ ես այն խիստ ձևակերպես:

[Ռեդ]

Ի՞նչ հարցի մասին է խոսքը: Կարո՞ղ ես այն խիստ ձևակերպես:

Այո, իհարկե:
0.9+0.09+0.009+... հավասար է մեկի ըստ անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի բանաձևի, որը մաթեմից գիտենք: Սակայն այն փաստը, որ թվերն անվերջ են, նշված գումարին թույլ չի տալիս հավասարվելու մեկի, այս գումարը միշտ փոքր է մեկից: Ստացվում է ակնհայտ հակասություն ???

[*e}|{uka*]

Հարցս ուղղում եմ մաթեմ իմացողներին:

Ինչ որ մեկը կարող է նորմալ բացատրել, ասենք, Աքիլլեսի և կրիայի խնդիրը, որը անցել ենք դպրոցում անվերջ փոքրեր դասում:

Փորձեմ

Խնդրի էությունը կայանում է նրանում , որ Աքիլեսը երբեք չի հասնի կրային , եթե շարժման սկզբում կրիան գտնվել է նրանից որոշակի հեռավորութուն առաջ : Իրոք ելակետային հեռավորոթյունն ընդունենքa և ենթադրենք , որ Աքիլեսը վազում է կրիայից k անգամ ավելի արագ : Երբ աքիլեսը անցնի a հեռավորությունը , կրան իր հերթին կսողա a/k հեռավորթյունը :Երբ Աքիլեսն անցնի այդ տարծությունը , կրիան կրկին առաջ կսողա a/k^2 և այդպես շարունակ : Այսպիով ամեն անգամ մրցակիցների միջև կմնա զրոյից բարձր հեռավորություն : Խնդրի հակասությունը կայանում է նրանում . որ նրանում բացի անվերջության հետ կապված դժվարությունից , կա ևս մեկ խնդիր :Ենթադրենք , որt ժամանակի որոշակի պահի Աքիլեսը կհասնի կրիային; Գրենք Աքիլեսի անցած ճանապարհը`
S=a+a/k+a/k^2+…
Եվ կրայի ճանապարհը`
S=a/k+a/k^2+…
Աքիլեսի անցած ճանապարհը a/k^n յուրաքանչյուր հատվածին համապատասխանում է կրիայի անցած ճանապարհի a/k^n+1 հատված : Ուստի հանդիպման պահին Աքիլեսը պետք է անցնի ճանապարհի «նույնքան հատվածներ» , որքան և կրիան :Մյուս կողմից կրայի անցած ճանապարհի a/k^n յուրաքանչյուր հատվածի հետ կարելի է համադրել իրեն հավասար չափի ճանապարհի հատված , որը անցել է Աքիլեսը :Սակայն, դրանից բացի, Աքիլեսը պետք է անցնի ճանապարհի ևս մեկ a երկարությամբ հատված , այնսինքն` նա պետք է անցնի մեկ միավոր ավել հատվածներ, քան կրիան: Եթե վերջինի անցած հատվածների թիվը կազմում է a , ապա մենք ստանում ենք` 1+a=a (մասը հավասար է ամբողջին) : Այս պարադոքսին շատ մեկնաբանություններ են տրվել , ցավոք չեմ հիշում

[linus]

Հարցս ուղղում եմ մաթեմ իմացողներին:

Ինչ որ մեկը կարող է նորմալ բացատրել, ասենք, Աքիլլեսի և կրիայի խնդիրը, որը անցել ենք դպրոցում անվերջ փոքրեր դասում:
Կամ էլ հատևյալ խնդիրը.
Ենթադրենք` ունենք ԱԲ հատվածը, իսկ Ա1-ը միջնակետն է: Եվ ընդհանրապես, Աn կետը Ա(n-1)Բ-ի միջնակետն է:
Ա--------------------Ա1----------------------Բ
Ստացվում է, որ ԱnԲ=ԱԲ/(2^n)
Ա կետից սկսում ենք շարժվել Բ-ն, առանց կանգ առնելու: Անպայման Բ-ն հասնելու համար պետք է անցնենք Ա1-ով, նույն կերպ Ա1-ից Բ հասնելու համար պետք է անցնենք Ա1Բ-ի միջնակետով`Ա2-ով և այլն...
Քանի որ վերջում անպայման կհասնենք Բ կետին, ուրեմն ինչ որ մի k-ի համար ԱkԲ=0 =>ԱԲ=0 ??? : Սակայն դա հնարավոր չէ: Ուրեմն երբեք չենք հասնի Բ-ին??????

վերցրու երկու հաելի, դիր իրար դեմ ու նայի իրանց մեջ, ամեն մեկի մեջ երեվում է մյուսը միջի պատկերով, պատկերների չափը ինչ է լինում?

[Ռեդ]

վերցրու երկու հաելի, դիր իրար դեմ ու նայի իրանց մեջ, ամեն մեկի մեջ երեվում է մյուսը միջի պատկերով, պատկերների չափը ինչ է լինում?

Հարցդ չհասկացա, մի քիչ ավելի հստակ տուր

[Mefistofel]

Հարցս ուղղում եմ մաթեմ իմացողներին:

Ինչ որ մեկը կարող է նորմալ բացատրել, ասենք, Աքիլլեսի և կրիայի խնդիրը, որը անցել ենք դպրոցում անվերջ փոքրեր դասում:
Կամ էլ հատևյալ խնդիրը.
Ենթադրենք` ունենք ԱԲ հատվածը, իսկ Ա1-ը միջնակետն է: Եվ ընդհանրապես, Աn կետը Ա(n-1)Բ-ի միջնակետն է:
Ա--------------------Ա1----------------------Բ
Ստացվում է, որ ԱnԲ=ԱԲ/(2^n)
Ա կետից սկսում ենք շարժվել Բ-ն, առանց կանգ առնելու: Անպայման Բ-ն հասնելու համար պետք է անցնենք Ա1-ով, նույն կերպ Ա1-ից Բ հասնելու համար պետք է անցնենք Ա1Բ-ի միջնակետով`Ա2-ով և այլն...
Քանի որ վերջում անպայման կհասնենք Բ կետին, ուրեմն ինչ որ մի k-ի համար ԱkԲ=0 =>ԱԲ=0 ??? : Սակայն դա հնարավոր չէ: Ուրեմն երբեք չենք հասնի Բ-ին??????

Ստեղ նրբություն կա...
Նախ ասեմ, որ AB հատվածը նյութական կետը սենց թե նենց անցնելույ ա, ու անցնելու ա ասենք թե, որոշակի T ժամանակահատվածում: Ինչումն ա կայանում նրբությունը?! Նրանում, որ ցանկացած (An;B) հատվածին ուղիղ համեմատական (ինչքանել փոքրանա (An;B) հատվածը) փոքրանալույա նաև Tn ժամանակահատվածը որում նյութական կետը կամ մարմինը անցնում ա էտ անվերջ կիսվող ու փոքրացող (An;B) հատվածները... Հիմա եթե ինչ-որ պահից սկսած վերցնենք բոլոր Tn ժամանակահատվածների ԳՈՒՄԱՐԸ նա լինելու ա վերևից ՍԱՀՄԱՆԱՓԱԿ այսինքն

Դա ստացվում ա e թվի պես, որտեղ (1+1/n)^n սահմանը չի գետազանցում 3-ը: Նույննել մեր դեպքում` անվերջ նվազող Tn ժամանակահատվածների գումարը չի գետազանցի որոշակի թիվ (օրինակի համար մեկ վարկյանը) ու արդեն ստեղ խոսակցական ժառգոբով ասած` էտ մի վարկյանի ընթացքում ինչքան ուզւում էս ոտտ կախ գցի մեկա էտ մի վարկյանը անցնելույա, դա արդեն ժամանակի անընդհատության գաղափարն ա ...

*Ցուցում` Ավելի մանրամասն հասկանալու համար ուսումնասիրի Նյուտոնի բինոմը

[Ռեդ]

Այո, իհարկե:
0.9+0.09+0.009+... հավասար է մեկի ըստ անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի բանաձևի, որը մաթեմից գիտենք: Սակայն այն փաստը, որ թվերն անվերջ են, նշված գումարին թույլ չի տալիս հավասարվելու մեկի, այս գումարը միշտ փոքր է մեկից: Ստացվում է ակնհայտ հակասություն ???

Էս հարցին որևէ մեկը պատասխան տվե՞ց։

[Egern.net]

Այո, իհարկե:
0.9+0.09+0.009+... հավասար է մեկի ըստ անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի բանաձևի, որը մաթեմից գիտենք: Սակայն այն փաստը, որ թվերն անվերջ են, նշված գումարին թույլ չի տալիս հավասարվելու մեկի, այս գումարը միշտ փոքր է մեկից: Ստացվում է ակնհայտ հակասություն ???

Արամ ջան,
Մեր պարապմունքի տեղը անվերջ նվազող երկր. պրոգրեսիան անցնելիս ու պարբերական կոտորակների մասին խոսելիս էս հարցը բարձրացավ... ու խեղճ դասախոսը (որ սուտ չասեմ) մոտ մի ժամ բացատրում էր, թե ոնց է 0.(9)=1: Ու քանի որ նորմալ չէինք հասկանում, ինքը բացատրում էր, որ մինչև լիմենս նորմալ չհասկանաք, էդ չեք հասկանա...
Ինքը շատ ձևերով բացատրեց, վերջը իմ գլուխը ոնց որ մտավ, բայց հաստատ չեմ կարողանա նորմալ բացատրեմ...

Շատ հետաքրքիր գրված է այստեղ` http://en.wikipedia.org/wiki/0.%289%29

Մի հատ լավ ապացույց, որ 0.9999=1