Varzor-ի խոսքերից
Նախ նշեմ պարզ թվերի 2 առանձնահատկություն
ա) յուրքանաչյուր a պարզ թիվ կենտ թիվ է, եթե a>2
բ) յուրաքանչյուր a>3 պարզ թիվ կարելի է ներկայացնել a=6k+1 կամ 6k-1 տեսքով, որտեղ k>1 բնական թիվ է:
ԱՊԱՑՈՒՅՑ 1
1.1. քանի որ a-ն կենտ է, a2-ը նույնպես, ուստի a2-1-ը զույգ թիվ է ր բաժանվում է 2-ի (ա) հատկության հիման վրա)
1.2. a2-1=(a+1)(a-1)` այսինքն 2b x 2c, 4 x (b x c), ուստի a2-1-ը բաժանվում է 4-ի (ա) հատկության հիման վրա)
2. a2-1=(6k+1)2-1=36k2+12k+1-1=12k(3k+1), ուստի a2-1-ը բաժանվում է 12-ի (բ) հատկության հիման վրա)
Եթե k-ն կենտ թիվ է, ապա այն կարելի է ներկայացնել k=2n+1 տեսքով, տեղադրելով կստանանք` 24(2n+1)(3n+1), այսինքն`a2-1-ը բաժանվում է 24-ի
Եթե k-ն զույգ թիվ է, ապա այն կարելի է ներկայացնել k=2n տեսքով, տեղադրելով կստանանք` 24n(6n+1), , այսինքն`a2-1-ը բաժանվում է 24-ի
ԱՊԱՑՈՒՅՑ 2
Յուրաքանչյուր p>3 բնական կենտ թվի համար p2-1 արժեքը բաժանվում է 24-ի, եթե p-ն բպազմապատիկ չի 3-ի, հետևաբար յուրաքանչյուր 3-ից մեծ բարզ թիվ բաժանվում է 24-ի:
ունենք p>3 և 3-ի ոչ պազմապատիկ թիվ: Ըստ մոդուլ 3-ի բաժանման տալիս է 1 կամ 2 մնացորդ, իսկ ըստ մոդուլ 8-ի` 1, 3 , 5, 7 մնացորդ: p2-ն ըստ մոդուլ 3-ի կամ 8-ի կտա 1 մնացորդ (մնացորդի քառակուսին նույնպես մոդուլով բաժանում ենք ու վերցնում մնացորդը, թվաբանորեն հեշտ նկարագրելի է):
եթե p-ն 3-ի բազմապատիկ չէ, ապա, ըստ մոդուլ 3-ի արդյունքի ներկայացման.
1.1. կամ p=3n+1, => p2-1=9n2+6n+1-1=3n(3n+2)` բաժանվում է 3-ի
1.2. կամ p=3n+2, => p2-1=9n2+12n+4-1=3(3n2+4n+1)` բաժանվում է 3-ի
ըստ մոդուլ 8-ի բաժանման արդյունքի ներկայացման.
2.1. կամ p=8n+1, => p2-1=64n2+16n+1-1=16n(4n+1)` բաժանվում է 8-ի (նաև 16-ի)
2.2. կամ p=8n+3, => p2-1=64n2+48n+9-1=8(8n2+6n+1)` բաժանվում է 8-ի
2.3. կամ p=8n+5, => p2-1=64n2+80n+25-1=8(8n2+10n+3)` բաժանվում է 8-ի
2.3. կամ p=8n+7, => p2-1=64n2+112n+49-1=8(8n2+13n+6)` բաժանվում է 8-ի
հետևաբար p2-1-ը միաժամանակ բաժանվում է և 3-ի և 8-ի: Այսինքն` բաժանվում է 24-ի:
Քանի որ մեր ունեցած a թիվը կենտ է, չի բաժանվում 3-ի և մեծ է 3-ից, ապա նրա համար նույնպես կիրառելի է a2-1 բաժանվում է 24-ի օրինաչափությունը:
Էջանիշներ