Արիացի
15.10.2009, 13:57
Դեռևս փոքր տարիքից, հավանաբար երկրորդ դասարանից, մեծ հետաքրքրությամբ ու հիացմունքով էի վերաբերվում թվերի բաժանելիության հայտանիշներին: Դրանք մի փոքր հրաշքի նման բաներ էին, որոնք զարմացնում էին ինձ: Հետագայում, գիտելիքների ավելացման հետ, պարզվեց, որ ոչ մի հրաշք էլ չկա :)
Այս թեմայում ուզում եմ նշել ինձ հայտնի թվերի բաժանելիության հայտանիշները ու դրանցից կարևորների ապացույցը: Կնշեմ բոլոր միանիշ թվերի բաժանելիության հայտանիշները հերթականությամբ, ինչպես նաև 11-ի ու 13-ի հայտանիշները ու մի քանի ընդհանուր պնդումներ: Սկսենք տարրական պնդումներից, հետագայում կընդլայնենք:
Եվ այսպես.
2-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է երկուսի, եթե նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 2-ի, այսինքն՝ վերջանում է 0,2,4,6,8 թվանշաններով:
Դե սա կարծում եմ ապացույցի կարիք չունի:
3-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է 3-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի:
Ապացույց:
Ենթադրենք ունենք որևէ n թվանշան ունեցող թիվ` x: Նշանակենք նրա թվանշանները` x_1, x_2, ..., x_n: x թիվը կարելի է ներկայացնել, հետևյալ տեսքով`
x = x_n + 10*x_n-1 + 100 * x_n-2 + ... + 10^n * x_1 = (x_n + x_n-1 + x_n-2 + ... + x_1) + (9* x_n-1 + 99*x_n-2 + 999*x_n-2 + ... + 9....9 * x_1)
Պարզ է, որ այս հավասարության աջ մասի վերջին գումարելին բաժանվում է 3-ի (քանի որ այն 9-ի պատիկ է, իսկ 9-ը բաժանվում է 3-ի), իսկ առաջին գումարելի, սկզբնական թվի թվանշանների գումարն է, հետևաբար, եթե այն բաժանվի 3-ի, ապա ամբողջ թիվը նույնպես կբաժանվի 3-ի:
4-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է 4-ի, եթե նրա վերջին երկու թվանշաններից կազմված երկնիշ թիվը բաժանվում է 4-ի:
Ապացույց:
Ենթադրենք ունենք x թիվը: Նշանակենք նրա վերջին երկու թվանշանները a և b, իսկ մնացած մասը մեկ ընդհանուր C սիմվոլով: Այս դեպքում x թիվը կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով`
x = 100*C + ab
քանի որ 100-ը բաժանվում է 4-ի, ապա բավական է, որ ab երկնիշ թիվը բաժանվի 4-ի, որպեսզի ամբողջ x թիվը բաժանվի 4-ի:
5-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է 5-ի, եթե նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 5-ի, այսինքն` վերջին թվանշանը 0 է կամ 5:
Սա նույնպես ակնհայտ է:
6-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է 6-ի, եթե այն բաժանվում է 2-ի և 3-ի, այսինքն` այն զույգ է և նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի:
Սա բխում է այն բանից, որ եթե թիվը բաժանվում է, որևէ այլ թվի բաժանարարներին, ապա այն բաժանվում է նաև այդ թվին:
7-ի բաժանելիության հայտանիշը հիմա բաց եմ թողնում, կբերեմ մի քիչ ուշ, քանի որ այն մի քիչ այլ կարգի դատողություններ է պահանջում:
8-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է 8-ի, եթե նրա վերջին երեք թվանշաններից կազմված եռանիշ թիվը բաժանվում է 8-ի:
Ապացույց:
Ենթադրենք ունենք x թիվը: Նշանակենք նրա վերջին երեք թվանշանները a, b, c իսկ մնացած մասը մեկ ընդհանուր D սիմվոլով: x թիվը կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով`
x = 1000*D + abc
քանի որ 1000-ը բաժանվում է 8-ի, ապա բավական է, որ abc-ն բաժանվի 8-ի, որպեսզի ամբողջ x թիվը բաժանվի 8-ի:
9-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է 9-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի:
Ապացույցը նույնն է, ինչ 3-ի հայտանիշի դեպքում:
10-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է տասի, եթե այն վերջանում է 0-ով:
Սա նույնպես ակնհայտ է:
Այս թեմայում ուզում եմ նշել ինձ հայտնի թվերի բաժանելիության հայտանիշները ու դրանցից կարևորների ապացույցը: Կնշեմ բոլոր միանիշ թվերի բաժանելիության հայտանիշները հերթականությամբ, ինչպես նաև 11-ի ու 13-ի հայտանիշները ու մի քանի ընդհանուր պնդումներ: Սկսենք տարրական պնդումներից, հետագայում կընդլայնենք:
Եվ այսպես.
2-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է երկուսի, եթե նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 2-ի, այսինքն՝ վերջանում է 0,2,4,6,8 թվանշաններով:
Դե սա կարծում եմ ապացույցի կարիք չունի:
3-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է 3-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի:
Ապացույց:
Ենթադրենք ունենք որևէ n թվանշան ունեցող թիվ` x: Նշանակենք նրա թվանշանները` x_1, x_2, ..., x_n: x թիվը կարելի է ներկայացնել, հետևյալ տեսքով`
x = x_n + 10*x_n-1 + 100 * x_n-2 + ... + 10^n * x_1 = (x_n + x_n-1 + x_n-2 + ... + x_1) + (9* x_n-1 + 99*x_n-2 + 999*x_n-2 + ... + 9....9 * x_1)
Պարզ է, որ այս հավասարության աջ մասի վերջին գումարելին բաժանվում է 3-ի (քանի որ այն 9-ի պատիկ է, իսկ 9-ը բաժանվում է 3-ի), իսկ առաջին գումարելի, սկզբնական թվի թվանշանների գումարն է, հետևաբար, եթե այն բաժանվի 3-ի, ապա ամբողջ թիվը նույնպես կբաժանվի 3-ի:
4-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է 4-ի, եթե նրա վերջին երկու թվանշաններից կազմված երկնիշ թիվը բաժանվում է 4-ի:
Ապացույց:
Ենթադրենք ունենք x թիվը: Նշանակենք նրա վերջին երկու թվանշանները a և b, իսկ մնացած մասը մեկ ընդհանուր C սիմվոլով: Այս դեպքում x թիվը կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով`
x = 100*C + ab
քանի որ 100-ը բաժանվում է 4-ի, ապա բավական է, որ ab երկնիշ թիվը բաժանվի 4-ի, որպեսզի ամբողջ x թիվը բաժանվի 4-ի:
5-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է 5-ի, եթե նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 5-ի, այսինքն` վերջին թվանշանը 0 է կամ 5:
Սա նույնպես ակնհայտ է:
6-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է 6-ի, եթե այն բաժանվում է 2-ի և 3-ի, այսինքն` այն զույգ է և նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի:
Սա բխում է այն բանից, որ եթե թիվը բաժանվում է, որևէ այլ թվի բաժանարարներին, ապա այն բաժանվում է նաև այդ թվին:
7-ի բաժանելիության հայտանիշը հիմա բաց եմ թողնում, կբերեմ մի քիչ ուշ, քանի որ այն մի քիչ այլ կարգի դատողություններ է պահանջում:
8-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է 8-ի, եթե նրա վերջին երեք թվանշաններից կազմված եռանիշ թիվը բաժանվում է 8-ի:
Ապացույց:
Ենթադրենք ունենք x թիվը: Նշանակենք նրա վերջին երեք թվանշանները a, b, c իսկ մնացած մասը մեկ ընդհանուր D սիմվոլով: x թիվը կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով`
x = 1000*D + abc
քանի որ 1000-ը բաժանվում է 8-ի, ապա բավական է, որ abc-ն բաժանվի 8-ի, որպեսզի ամբողջ x թիվը բաժանվի 8-ի:
9-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է 9-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի:
Ապացույցը նույնն է, ինչ 3-ի հայտանիշի դեպքում:
10-ի բաժանելիության հայտանիշը
Թիվը բաժանվում է տասի, եթե այն վերջանում է 0-ով:
Սա նույնպես ակնհայտ է: