Դիտել ողջ տարբերակը : Բազմությունների տեսություն
Այս թեման նվիրվում է մաթեմատիկայի հիմնարար ճյուղերից մեկին՝ բազմությունների տեսությանը: Առանձին թեմա բացելու միտքը ծագեց Կտրուկ մականունով մասնակցի՝ անսահմանության /անվերջության/ վերաբերյալ ռեմարկից հետո. http://www.akumb.am/showpost.php?p=1557853&postcount=16
Կարծում եմ՝ նյութը հետաքրքիր կլինի բոլոր նրանց, ովքեր հետաքրքրվում են մաթեմատիկայով և մաթեմատիկական տրամաբանությունով:
Բազմության հզորությունը
Ենթադրվում է, որ ընթերցողը գաղափար ունի այն մասին, թե ինչ է բազմությունը և քիչ թե շատ ծանոթ է բազմությունների տեսության նշանակումներին /հնարավորին չափ կաշխատեմ խուսափել դրանց օգտագործումից հետագա տեքստում/:
Բազմության հզորություն կոչվում է այդ բազմության տարրերի քանակը: Եթե A-ն բազմություն է, ապա նրա հզորությունը նշանակվում է |A| կամ card(A) /անգլերեն cardinality՝ հզորություն բառից/:
Բազմության հզորությունը կարող է լինել վերջավոր /այդ դեպքում բազմությունն ունի սահմանափակ թվով տարրեր և կոչվում է վերջավոր բազմություն/ կամ անվերջ /բազմությունն ունի անսահմանափակ թվով տարրեր և կոչվում է անվերջ բազմություն/:
Օրինակ 1. Ակումբի մասնակիցների բազմությունը վերջավոր է:
Օրինակ 2. 1-ից մեծ և 100-ը չգչգերազանցող թվերի բազմությունը ևս վերջավոր է. այն ունի 99 տարր: A={2, 3, 4, ..., 100} և |A|=99:
Օրինակ 2. Բոլոր բնական թվերի բազմությունն ունի անվերջ հզորություն: N={1, 2, 3, ...}, |N|=անվերջություն:
Օրինակ 4.Կոորդինատային առանցքի վրա 0 և 1 կետերի միջև ընկած հատվածում գտնվող կետերի բազմության հզորությունը ևս անվերջ է:
Բազմությունների հզորության համեմատումը
Շատ հաճախ հարկ է լինում համեմատել երկու բազմությունների հզորությունները /տարրերի քանակը/: Եթե երկու բազմությունն էլ վերջավոր են, ապա խնդիրը հեշտությամբ լուծվում է. բավական է համեմատել նրանց հզորությւոնները ներկայացնող թվերը:
Օրինակ 5. Պարզենք , թե ո՞ր բաբազմությունում ավելի շատ ամբողջ թիվ կա՝
երկնիշ թվերի բազմությունում, թե՞ եռանիշ թվերի բազմությունում:
Երկնիշ թվերի բազմությունը՝ K={10, 11, ..., 99}, |K|=90
Եռանիշ թվերի բազմությունը՝ L={100, 101, ..., 999}, |L|=900
/այս բազմությունների հզորությունները հաշվելու ամենապարզ /և ամենաանարդյունավետ/ ձևը դրանց տարրերը հերթով համրելն է/:
Պարզ է, որ Եռանիշ թվերի բազմության հզորությունն ավելի մեծ է, քան երկնիշ թվերինը:
Եթե բազմություններից մեկը վերջավոր է, մյուսը՝ անվերջ, ապա այստեղ ևս խնդիր չկա: Հասարակ տրամաբանությունը հուշում է, որ անվերջ բազմության հզորությունն ավելի մեծ է:
Օրինակ 6. Դիցուք A-ն բոլոր քառանիշ թվերի բազմությունն է, իսկ N-ը՝ բոլոր բնական թվերինը: Ակնհայտ է, որ |A|<|N|:
Գործը շատ ավելի բարդ է դառնում, երբ երկու բազմություններն էլ անվերջ են: Դիմենք մի երկրաչափական օրինակի:
Օրինակ 7. Դիցուք ունենք երկու հատված, որոնցից մեկը մյուսից երկու անգամ երկար է. CD = 2 * AB: Հարց. ո՞ր հատվածն է ավելի շատ կետեր պարունակում:
A______B
C____________D
Առաջին հայացքից թվում է, թե պատասխանն ակնհայտ է՝ CD հատվածի կետերն ավելի շա՛տ են: Ահա, նկարի վրա այդ հատվածները միմյանց տակ են տեղադրված, և պարզ է, որ CD-ն պարունակում է այնքան կետ /C-ից մինչև CD հատվածի միջնակետը/, որքան AB-ն՝ գումարած ևս այդքան /միջնակետից մինչև D կետը/: Սակայն խնդրի հարցին հապճեպ պատասխանողին կարելի տալ հետևյալ հարցը՝ արդյո՞ք հաշվել ես հատվածների կետերի քանակը, որ այդպես վստահ պնդում ես, որ CD-ում կետերի քանակն ավելի շատ է. չէ՞ որ երկուսում էլ կետերի քանակն անվերջ է :think
«Ախր դա ակնհա՛յտ է»,- ներողամիտ ժպիտով պատասխանում է մեր մասնագետը,- «ա՛յ, նայի՛ր, AB հատվածն «իջեցնենք» CD-ի վրա, աինպես, որ A կետը համընկնի C-ին: Առնվազն D կետը դո՞ւրս կմնա, չի ծածկվի իջեցրած հատվածի կետերով: Ուրեմն, երկրորդ հատվածում գոնե մեկով ավելի շատ կետեր կան /օրինակ՝ D-ն/: Այդպես չէ՞»:
«Համոզիչ է»,- մտածում ես դու :think Բայց ինչ-որ բան այն չէ... Բանն այն է, որ մենք դեռ չունենք երկու անվերջ բազմությունների հզորությունները համեմատելու միջոց: Վերջավորների դեպքում ամեն ինչ պարզ էր /կարող ենք պարզապես հաշվել դրանց տարրերը/: Բայց անվերջներն ինչպե՞ս համեմատենք: Խնդրի լուծումը տալու համար փորձենք առաջարկել այդպիսի մեթոդ:
Անվերջ բազմությունների հզորությունների համեմատումը. փոխմիարժեք համապատասխանություն
Նախքան անվերջ բազմությւոնների հզորությունները համեմատելը՝ լուծենք մի այսպիսի օժանդակ խնդիր.
Օրինակ 8. Դիցուք A-ն 1-ից 100 բոլոր զույգ թվերի բազմությունն է, իսկ B-ն՝ 1-ից 50 բոլոր ամբողջ թվերինը: Այսինքն՝ A={2, 4, 6, 8, ..., 98, 100}, B={1, 2, 3, 4, ..., 49, 50}: Ո՞ր բազմության հզորությունն է ավելի մեծ:
Իհարկե, կարելի է ձեռքով հաշվել այս բազմությունների տարրերի քանակը, բայց մենք կօգտվենք ավելի էլեգանտ միջոցից:
Դիտարկենք A բազմության տարրերը. նրանցից յուրաքանչյուրը զույգ թիվ է, ուրեմն՝ բաժանվում է 2-ի: A-ի յուրաքանչյուր տարրին համապատասխանեցնենք հենց այդ թիվը 2-ի բաժանելու արդյունքը /այսինքն՝ տվյալ թվի կեսը/: Կստանանք, որ
2-ին համապատասխանում է 2/2=1
4-ին համապատասխանում է 4/2=2
6-ին համապատասխանում է 6/2=3
.....
100-ին համապատասխանում է 100/2=50
Կապույտ թվերի ամբողջությունը A բազմությունն է: Իսի ահա կարմիր թվերի ամբողջությունը իսկ և իսկ մեր B բազմությո՛ւնն է: :) Ուրեմն ի՞նչ ստացվեց: Ստացվեց, որ A բազմության յուրաքանչյուր տարրի կարելի է համապատասխանեցնել ճիշտ մեկ տարր B-ից: Ճիշտ է և հակառակը. B-ի ամեն տարրին ճիշտ մեկ տարր է համապատասխանում A-ից: Սա նշանակում է, որ A և B բազմությունները պարունակում են նույն քանակությամբ տարրեր: Ըստ որում, մենք կարողացանք պարզել այս երկու բազմությունների հզորությունների հավասարությունը՝ առանց նրանց տարրերը հատ-հատ հաշվելո՛ւ:
Նման տիպի համապատասխանեցումները կոչվում են փոխմիարժեք համապատասխանություններ. դրանք երկու բազմությունների տարրերի միջև ստեղծում են այնպիսի համապատասխանություն, որի դեպքում ամեն բազմության յուրաքանչյուր տարրին ճիշտ մեկ տարր է համապատասխանում մյուսից:
Հիմա վերադառնանք անվերջ բազմությունների հզորության համեմատմանը: Ընդհանրացնելով նախորդ օրինակում մեր կիրառած մեթոդը կարող ենք պնդել, որ.
A և B անվերջ բազմություններն ունեն միևնույն հզորությունը, եթե նրանց տարրերի միջև կարելի է ստեղծելփոխմիարժեք համապատասխանություն:
«Շատ լավ»,-ասում է մեր Մասնագետը,-«թող լինի փոխմիարժեք համապատասխանություն: Ահա ես կառուցեցի համապատասխանություն`A կետին համապատասխանեցրի C-ն, B-ին՝ E-ն /CD-ի միջնակետը/ և դուրս մնացին E-ից D բոլոր կետերը: Նշանակում է՝ CD հատվածի կետերն ավելի շատ են»:
A______B
C______E______D
Նկատենք, որ այն փաստը, որ երկու բազմությունների տարրերի միջև որևէ համապատասխանության դեպքում դրանց անհավասար լինելը դեռ չի նշանակում, որ գոյություն չունի այնպիսի փոխմիարժեք համապատասխանություն, որը ցույց տա, որ այդ բազմությունները հավասար են:
Կառուցենք հետևյալ համապատասխանությունը: A-ն միանենք C-ին, B-ն՝ D-ին և շարունակենք այդ գծերը, մինչև հատվեն O կետում: /տես կցորդը/
Հիմա վերցնենք ցանկացած M կետ AB հատվածի վրա: Օ-ն միացնենք այդ M կետին և շարունակենք մինչև CD հատվածի հետ P կետում հատվելը: Կհամարենք, որ մեր կառուցած համապատասխանությունը M կետին համապատասխանեցնում է P կետը: Ճիշտ է նաև հակառակը. վերցնենք կամայական Q կետ CD հատվածի վրա և միացնենք այն O կետին: Պարզ է, որ այն կհատի AB հատվածը ինչ-որ N կետում: Կհամարենք, որ մեր համապատասխանությունը Q կետին համապատասխանեցնում է N կետը: Կառուցված համապատասխանությունը փոխմիարժեք է՝ AB հատվածի ցանկացած կետին համապատասխանեցվում է ճիշտ մեկ կետ CD-ից և հակառակը /հակառակ դեպքում կխախտվի երկրաչափության հիմնական աքսիոմներից մեկը՝ երկու կետով անցնում է միայն մեկ ուղիղ/:
Ի՞նչ ստացվեց: AB և CD հատվածների կետերի բազմությունների միջև կառուցեցինք փոխմիարժեք համապատասխանություն: Այստեղից հետևում է հետևյալ անհավանական /բայց ճշմարիտ/ փաստը՝ AB և CD հատվածներում կան միևնույն քանակով կետե՛ր: :o Չնայած նրան, որ մի հատվածը մյուսից երկու անգամ երկար է:
Մենք տեսանք, որ երկու անվերջ բազմություններ կարող են ունենալ միևնույն հզորությունը, չնայած նրան, որ նրանցից մեկը մյուսի մի մասն է կազմում /իրոք, եթե վերադրենք օրինակ 7-ում հատվածները, առաջինը կծածկի երկրորդի մի մասը միայն/:
Այստեղ մի հետաքրքիր հարց է ծագում. արդյո՞ք բոլոր անվերջ բազմությունները ունեն նույն «անվերջ» հզորությունը, թե՞ կարող է մեկ «անվերջը» լինել մեկ այլ «անվերջից» փոքր: :think
Հաշվելի բազմություններ
Նախ դիտարկենք անվերջ բազմությունների մի կարևոր դաս:
Այն բազմությունները, որոնք հավասարազոր են /ունեն միևնույն հզորությունը/ բնական թվերի N={1, 2, 3, 4, ....} անվերջ բազմության հետ, կոչվում են հաշվելի բազմություններ:
Այսինքն, եթե մի որևէ բազմության և {1, 2, 3, ...} թվերի բազմության միջև կարելի է ստեղծել փոխմիարժեք համապատասխանություն, ապա այդ բազմությունը հաշվելի է: Ավելի պարզ՝ եթե որևէ բազմության բոլոր տարրերը կարելի է հերթով համարակալել 1, 2, 3, ... թվերով, ապա այն հաշվելի է:
Օրինակ 8. Ցույց տանք, որ բնական կենտ թվերի բազմությունը հաշվելի է:
Բնական կենտ թվերի բազմությունը հետևյալն է՝ {1, 3, 5, 7, 9, ...}:
Կազմենք հետևյալ փոխմիարժեք համապատասխանությունը.
1 -> (1 + 1)/2 = 1
3 -> (3 + 1)/2 = 2
5 -> (5 + 1)/2 = 3
7 -> (7 + 1)/2 = 4
...
Յուրաքանչյուր կենտ թվին համապատասխանեցնում ենք նրա համարը (որևէ բնական թիվ) այսպես. գումարում ենք այդ թվին 1 և ստացված գումարը բաժանում 2-ի: Ստեղծվեց փոխմիարժեք համապատասխանություն կենտ թվերի բազմության և բնական թվերի բազմության միջև: Ուրեմն, կենտ թվերի բազմությունը հաշվելի է /համազոր է բնական թվերի բազմությանը/: Նկատենք, որ մենք նորից ստացանք արտասովոր այս երևույթը, որ որևէ բազմություն կարող է պարունակել այնքան տարր, որքան նրա մի մասը: Իրոք, բնական թվերի բազմությունը կազմված է զույգ և կենտ թվերից: Բայց ստացվում է, որ կա այնքան կենտ բնական թիվ, որքան կենտ և զույգը միասի՛ն :)
Կոնտինուում հզորության բազմություններ
Մենք տեսանք, որ գոյություն ունի անվերջ բազմությունների մի տեսակ՝ հաշվելի բազմությունները. բազմություններ, որոնց բոլոր տարրերը կարելի է համարակալել 1, 2, 3, ... թվերով: Արդյո՞ք սա անվերջ բազմությունների միակ տեսակն է. արդյո՞ք ցանկացած բազմության բոլոր տարրերը կարելի է համարակալել 1, 2, 3, ... թվերով: :think
Պարզվում է, որ ոչ:
Օրինակ 9. Դիտարկենք 0-ից ոչ փաքր և 1-ից ոչ մեծ բոլոր թվերը /[0, 1]/ հատվածի թվերը
(ինչպես օրինակ 0.12, 0.1235256565353, 0.444444.... /անվերջ քանակությամբ 4-եր կետից հետո/)և ցույց տանք, որ նրանց բազմությունը հաշվելի չէ:
Ենթադրենք՝ այդպես չէ և [0,1] հատվածի թվերի բազմությունը հաշվելի է: Դա կնշանակի, որ այդ հատվածի բոլոր թվերը կարելի է համարակալել 1, 2, 3, ... թվերով:
Ենթադրենք այդ համարակալված թվերն են x[1], x[2], ... թվերը և դրոնք ունեն հետևյալ տեսքը /ցանկացած թիվ [0,1] հատվածից կարելի է ներկայացնել այս տեսքով/.
x[1] = a[0][1].x[1][1] x[2][1] x[3][1]...
x[2] = a[0][2].x[1][2] x[2][2] x[3][2]...
x[3] = a[0][1].x[1][3] x[2][3] x[3][3]...
...
Այստեղ a[0][1], a[0][2],... թվերի ամբողջ մասերն են, իսկ x[1][1], x[2][1], ..., x[1][3], x[2][3]... թվերը՝ կետից հետո եղած կոտորակայինները: Օրինակ, ենթադրենք, x[3]-ը 0.1 թիվն է: Այդ դեպքում կունենանք՝ a[0][1] = 0; x[1][1]=1; x[1][2] = x[1][3] = բոլոր հաջորդ x-երը = 0
/0.1= 0.1000000..../
Այժմ կառուցենք մի նոր b թիվ [0, 1] հատվածից հետևյալ կերպ.
Ենթադրենք b= b[0].b[1]b[2]b[3]... /b[0]-ն այդ թվի ամբողջ մասն է, իսկ b[1], b[2], b[3]... թվերը ներկայացնում են կետից հետո ընկած, կոտորակային մասը/
Ընտրենք այդ թվանշաններն այսպես.
b[0] = 0
b[1] = ցանկացած թվանշան /0, 1, 2, ..., 9/, որը հավասար չէ 9-ի և հավասար չէ x[1][1]-ի /առաջաին համարակալված թվի առաջին թվանշանին/
b[2] = ցանկացած թվանշան /0, 1, 2, ..., 9/, որը հավասար չէ 9-ի և հավասար չէ x[2][2]-ի /երկրորդ համարակալված թվի երկրորդ թվանշանին/
b[3] = ցանկացած թվանշան /0, 1, 2, ..., 9/, որը հավասար չէ 9-ի և հավասար չէ x[3][3]-ի /երրորդ համարակալված թվի երրորդ թվանշանին/
և այդպես շարունակ
Կստացվի մի թիվ, որի ամբողջ մասը 0 է, իսկ կոտորակային մասը հավասար էև համարակալված թվերից ոչ մեկի՛ն /իրոք, առաջին համարակալվածից այն տարբերվում է կետից հետո առաջին թվանշանով, երկրորդից՝ երկրորդով, երրորդից՝ երրորդով, և այլն/: Ստացված թվի ամբողջ մասը 0 է, նշանակում է այն մեկից մեծ չէ և զրոյից էլ փոքր չէ, այսինքն՝ [0,1] հատվածից է: Բայց մենք ենթադրել էինք, որ [0, 1] հատվածի բոլոր թվերն են համարակալված, իսկ այժմ ստացանք մի թիվ, որը մնացել է համարակալումից դուրս: Ստացված հակասությունը ցույց է տալիս, որ անհնար է [0, 1] հատվածի բոլոր թվերը համարակալել 1, 2, 3, ... թվերով, այսինքն այդ թվերի բազմությունը անվերջ է, բայց ոչ հաշվելի:
[0, 1] հատվածի թվերի բազմությունը և նրան հավասարազոր ցանկացած բազմություն կոչվում է
կոնտինուում հզորության բազմություն:
Մենք տեսանք նախորդ օրինակից, որ բնական թվերը՝ 1, 2, ... չեն բավականացնում կոնտինոււմ հզորության բազմության տարրերը համարակալելու համար, ուստի կոնտինուում հզորության բազմություններն ունեն ավելի մեծ հզորություն:
Այլ կերպ ասած՝ «ավելի անվերջ են» ;) կամ էլ՝ «անվերջից անվերջն էլ կա» :)
Ավելացնեմ, որ ոչ միայն տարբեր երկարությամբ հատվածները ունեն նույն քանակությամբ կետեր, այլ նաև հատվածը(մեկ չափանի) և քառանկյունը(երկու չափանի): Այս փաստը առաջին անգամ ապացուցել է բազմությունների տեսության հայտնի դեմքերից մեկը` Կանտորը, որը կառուցել է փոխմիարժեք համապատասխանություն հատվածի և քառակուսու կետերի միջև: Դրանից հետո նա ապշած բացականչել է` <<Ես դա տեսնում եմ, բայց չեմ հավատում!!!>>: :)
Թեման շատ հետաքրքիր է, հուսով եմ շարունակություն կլինի: Ես անպայման հետագայում կանդրադառնամ, հիմա մի քիչ զբաղված եմ: ;)
Ժողովուրդ բայց ստեղ մի բան ճիշտ չի:
Օրինակ կցորդի նկարում AM հատվածի երկարությունը CP հատվածից փոքր է: Ենթադրենք մենք AM հատվածը վերցնում ենք ավերջ փոքր, այդ դեպքում CP հատվածը նույնպես կլինի անվերջ փոքր, բայց այնուամենայնվ միշտ ավելի մեծ քան AM -ը: Քանի AM -ից կարող ենք կտրել էլի հատվածներ մեր հետևությունը ճիշտ է, բայց եթե կետը ունենա վերջավոր չափ, ապա կգա պահ, երբ AM -ում էլ կետ չի մնա, որպեսզի համապատասխանի CP -ի որոշ կետերի, քանի որ CP -ն միշտ մեծ է AM -ից:
Ստեղ 2 պնդում կարա լինի: Կամ CP -ի կետերը ավելի «խոշոր» են AM -ից, կամ էս 2 հատվածների կետերը անհամեմատելի են: Այսինքն անվերջը անվերջի հետ չի կարելի համեմատել:
Ժողովուրդ բայց ստեղ մի բան ճիշտ չի:
Օրինակ կցորդի նկարում AM հատվածի երկարությունը CP հատվածից փոքր է: Ենթադրենք մենք AM հատվածը վերցնում ենք ավերջ փոքր, այդ դեպքում CP հատվածը նույնպես կլինի անվերջ փոքր, բայց այնուամենայնվ միշտ ավելի մեծ քան AM -ը: Քանի AM -ից կարող ենք կտրել էլի հատվածներ մեր հետևությունը ճիշտ է, բայց եթե կետը ունենա վերջավոր չափ, ապա կգա պահ, երբ AM -ում էլ կետ չի մնա, որպեսզի համապատասխանի CP -ի որոշ կետերի, քանի որ CP -ն միշտ մեծ է AM -ից:
Ստեղ 2 պնդում կարա լինի: Կամ CP -ի կետերը ավելի «խոշոր» են AM -ից, կամ էս 2 հատվածների կետերը անհամեմատելի են: Այսինքն անվերջը անվերջի հետ չի կարելի համեմատել:
Ստեղ կարծում եմ մի բան ա ճիշտ. որ կետը չափ չունի :)
Ստեղ կարծում եմ մի բան ա ճիշտ. որ կետը չափ չունի :)
էդ դեպքում ինչպե՞ս կարելի ա համեմատել 2 անվերջ բազմությունները ու պնդել որ երկուսում էլ հավասար քանակությամբ կետեր կան: Այստեղ համեմատելու բան չկա, որովհետև այդ համեմատությունը իմաստ չունի իմ կարծիքով:
էդ դեպքում ինչպե՞ս կարելի ա համեմատել 2 անվերջ բազմությունները ու պնդել որ երկուսում էլ հավասար քանակությամբ կետեր կան: Այստեղ համեմատելու բան չկա, որովհետև այդ համեմատությունը իմաստ չունի իմ կարծիքով:
Եթե երկու անվերջ բազմությունների տարրերի միջև ստեղծես փոխմիարժեք համապատասխանություն, ապա կարելի է պնդել, որ նրանք ունեն հավասար քանակությամբ տարրեր: Ստեղ "հավասար քանակությամբ" արտահայտությունը նշանակում ա, որ յուրաքաչյուր տարրին A-ից համապատասխանում ա ճիշտ մեկ հատ տարր B-ից ու հակառակը: Անվերջ քանակը ստեղ էնքան էլ էական չի ;)
Ժողովուրդ բայց ստեղ մի բան ճիշտ չի:
Օրինակ կցորդի նկարում AM հատվածի երկարությունը CP հատվածից փոքր է: Ենթադրենք մենք AM հատվածը վերցնում ենք ավերջ փոքր, այդ դեպքում CP հատվածը նույնպես կլինի անվերջ փոքր, բայց այնուամենայնվ միշտ ավելի մեծ քան AM -ը: Քանի AM -ից կարող ենք կտրել էլի հատվածներ մեր հետևությունը ճիշտ է, բայց եթե կետը ունենա վերջավոր չափ, ապա կգա պահ, երբ AM -ում էլ կետ չի մնա, որպեսզի համապատասխանի CP -ի որոշ կետերի, քանի որ CP -ն միշտ մեծ է AM -ից:
Ստեղ 2 պնդում կարա լինի: Կամ CP -ի կետերը ավելի «խոշոր» են AM -ից, կամ էս 2 հատվածների կետերը անհամեմատելի են: Այսինքն անվերջը անվերջի հետ չի կարելի համեմատել:
Էվկլիդեսը երկրաչափության մեջ ասում է, որ կետը այն է, ինչը չափ չունի: Եթե կետն էլ չափ ունենար, սաղ մաթեմատիկան ստիպված պիտի լինեինք վերանայել: ;)
Ինչ վերաբերում ա բազմությունների հավասարությանը, ապա դա հասկացվում է այն իմաստով, որ նրանց միջև կա փոխմիարժեք կապ, այսինքն առաջինի յուրաքանչյուր էլեմենտին համապատասխանում է երկրորդի էլեմենտ և հակառակը: Անվերջ բազմությունների դեպքում հակասություն է ստացվում մարդու պատկերացումների հետ, քանի որ, ըստ ինտուիցիայի, եթե Ա-ն Բ-ի մաս ա կազմում, ապա Բ-ն Ա-ից մեծ ա: Սակայն սա ընդամենը ինտուիտիվ մակարդակում է: Գիտական մակարդակով ոչ մի հակասություն չկա: Վերևում բերած օրինակս Կանտորի մասին, հենց այն մասին է, որ ինտուիցիան մեկ մեկ սխալվում է: :)
Բազմությունների հզորության մասին մի շատ կարևոր փաստ կա: Առաջին հայացքից թվում է, թե կոնտինուումը ամենամեծ հզորությունն է, սակայն դա տենց չի ու կան բազմություններ, որոնք կոնտինուումից էլ հզոր են: Ավելին, կամայական հզորույամբ բազմության համար, կա մի բազմություն դրանից հզոր: Մասնավորապես, սենց թեորեմ տեղի ունի.
Կամայական A բազմության համար, A-ի բոլոր ենթաբազմությունների բազմությունը ունի ավելի մեծ հզորություն, քան A-ն:
Ապացույցը շատ գեղեցիկ է, բայց մի քիչ երկար է: Էսօրվա մեջ կփորձեմ գրել: Իսկ հետաքրքրվողներին խորհուրդ եմ տալիս կարդալ հետևյալ գիրքը.
Натансон, Теория функций вещественной переменной (http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3790)
Սա բազմությունների հզորության տեսության իմ հանդիպած լավագույն գիրքն է:
Բազմությունների հզորության մասին մի շատ կարևոր փաստ կա: Առաջին հայացքից թվում է, թե կոնտինուումը ամենամեծ հզորությունն է, սակայն դա տենց չի ու կան բազմություններ, որոնք կոնտինուումից էլ հզոր են: Ավելին, կամայական հզորույամբ բազմության համար, կա մի բազմություն դրանից հզոր: Մասնավորապես, սենց թեորեմ տեղի ունի.
Կամայական A բազմության համար, A-ի բոլոր ենթաբազմությունների բազմությունը ունի ավելի մեծ հզորություն, քան A-ն:
Ապացույցը շատ գեղեցիկ է, բայց մի քիչ երկար է: Էսօրվա մեջ կփորձեմ գրել: Իսկ հետաքրքրվողներին խորհուրդ եմ տալիս կարդալ հետևյալ գիրքը.
Натансон, Теория функций вещественной переменной (http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3790)
Սա բազմությունների հզորության տեսության իմ հանդիպած լավագույն գիրքն է:
Ես այդ պատճառով չեմ տեղադրել: Գրելիս, խնդրում եմ, աշխատիր հնարավորին չափ մատչելի լեզվով գրել, միգուցե ոչմասնագետների էլ հետաքրքրի, կարդան:
Շնորհակալություն :)
Կամայական A բազմության համար, A-ի բոլոր ենթաբազմությունների բազմությունը ունի ավելի մեծ հզորություն, քան A-ն:
Եվ այսպես, թեորեմ ապացույցը:
Դիցուք A-ն որևէ բազմություն է: Նշանակենք 2^A-ով նրա ենթաբազմությունների բազմությունը: Մենք ուզում ենք ցույց տանք, որ A-ն համարժեք չէ 2^A-ին, այսինքն նրանց միջև գոյություն չունի փոխմիարժեք արտապատկերում:
Ենթադրենք, հակառակը` գոյություն ունի f:A->2^A, այնպիսին, որ A-ի կամայական x էլեմենտի համար, գոյություն ունի A-ի X ենթաբազմություն, որ f(x)=X, և հակառակը:
A-ի էլեմենտները բաժանենք երկու մասի:
a էլեմենտը կանվանենք "լավ", եթե a-ն պատկանում է f(a) ենթաբազմությանը, և կանվանենք "վատ", եթե չի պատկանում:
Նշանակենք M-ով A-ի բոլոր "վատ" էլեմենտների ենթաբազմությունը: Քանի որ f-ը փոխմիարժեք է, ապա գոյություն ունի a0 էլեմենտ, որ f(a0)=M: Հիմա հարց. ինչպիսի՞ էլեմենտ է a0-ն` "լավ", թե "վատ":
1) Ենթադրենք a0-ն "լավ" է: Այդ դեպքում, ըստ M-ի սահմանման a0-ն չի պատկանում M-ին (քանի որ M-ը "վատ"-երի բազմությունն է): Բայց մյուս կողմից, քանի որ a0-ն "լավ" է, ապա a0-ն պատկանում է f(a0), որն էլ հենց M-ն է: Փաստորեն, մի կողմից a0-ն պատկանում է M-ին, մյուս կողմից` ոչ: Հակասություն:
2) Ենթադրենք a0-ն "վատ" է: Այդ դեպքում, ըստ M-ի սահմանման a0-ն պատկանում է M-ին (քանի որ M-ը "վատ"-երի բազմությունն է): Բայց մյուս կողմից, քանի որ a0-ն "վատ" է, ապա a0-ն չի պատկանում f(a0)-ին, որը M-ն է: Նորից հանգում ենք հակասության:
Այս հակասությունից էլ հետևում է, որ մեր ենթադրությունը սխալ էր, այսինքն f փոխմիարժեք արտապատկերում գոյություն չունի:
Փաստորեն, անվերջից մեծ անվերջ էլ կա ;) :
Եթե ապացույցը պարզ չի ու հարցեր են առաջանում, գրեք, անպայման կպատասխանեմ: :B
Մի խնդիր, թեմայի հետ կապված: Վախտին լուծել էի, հիմա վերհիշեցի ու չկարեցա լուծումը գտնեմ:( : Ով կարող ա, թող գրի:
Ապացուցել, որ մոնոտոն ֆունկցիայի խզման կետերը ամենաշատը հաշվելի են: