Գծային Հանրահաշիվ [Պահոց]

Yellow Raven

30.10.2008, 16:39

Ժող, ինձ շտապ էսօրվա մեջ մի քանի հատ խնդրի լուծումա պետք: Եթե ինչ-որ մեկդ գաղափար ունեք գծային հանրահաշվից, գոնե մի փոքր ցուցում տվեք լուծումների վերաբերյալ: ;)
Ամենակարևորը էսա`

Գտնել X և Y չվերասերված մատրիցները,եթե

|1 1 -1 -2|............ |1 2 1 2|
|2 2 -2 -4| *X=Y* |0 1 0 1|
|0 1 0 1 |.............|3 8 3 8|
|3 3 -3 -6|.............|-5 -8 -5 -8|

Էս գրածներս 4x4 մատրիցներ են,ուղղակի հարմար գրելու ձևը չգտա,մեջտեղի կետերին էլ ուշադրություն մի դարձրեք,ուղղակի հեռվացնելու համար եմ գրել:B

Արտիստ

30.10.2008, 16:59

Գտնել X և Y չվերասերված մատրիցները,եթե

ինչա նշանակում "չվերասերված"՞՞:o:o:8:think

Yellow Raven

30.10.2008, 17:01

ինչա նշանակում "չվերասերված"՞՞:o:o:8:think

Որ դետերմինանտը 0 չի;)

Օբսիդիան

31.10.2008, 00:30

Վաղը դու ավելի լավա չգրես ստուգողականդ:D;):P

Yellow Raven

31.10.2008, 08:43

Վաղը դու ավելի լավա չգրես ստուգողականդ:D;):P

Ստուգողական չի,միջանկյալա:angry
Բարի մարդիկ,օգնեք, կես ժամից դուրս եմ գալիս,դեռ լուծումը չգիտեմ:(

Ուրվական

31.10.2008, 10:52

Ստուգողական չի,միջանկյալա:angry
Բարի մարդիկ,օգնեք, կես ժամից դուրս եմ գալիս,դեռ լուծումը չգիտեմ:(

Չկամ գծային հանրահաշվից:(

Մանե

22.11.2008, 19:19

Yellow Raven

22.11.2008, 19:38

Ոչինչ,որ մի ամիս ուշացումով եմ ասում:))
Պիտի 2 կողմերը բազմապատկես էդ մատրիցներից մեկի հակադարձ մատրիցով,չնայած ջանջալ գործ ա:)ու քանի որ 2 անհայտով մի հավասարում ա,չնայած անկապություն ա ստացվում,բայց X-ը օրինակ պիտի նշանակես t,ու տենց լուծես ցանկացած t-ի համար:)հետո մյուս անհայտը գտնելու համար պիտի 2 կողմերը բազմապատկես էդ անհայտի հակառակ կողմում գտնվող մարիցի հակադարձով ու էլի նշանակում անես:BՉգիտեմ որքանով պարզ արտահայտվեցի:thinkհա,իմիջայլոց,վերջը չե՞ս լուծել

Տրամաբանությունը հասկացա,բայց էդքանը հաշվելու համար մոտ 40 րոպե ժամանակա պետք,այսինքն քննությանը սենց խնդիր դնելը ուղղակի թյուրիմացություն էր: :8
Չէ, չլուծեցի, վերջում պարզվեց դասախոսս տոմեսրը փոխել էր :D

Մանե

22.11.2008, 19:53

Տրամաբանությունը հասկացա,բայց էդքանը հաշվելու համար մոտ 40 րոպե ժամանակա պետք,այսինքն քննությանը սենց խնդիր դնելը ուղղակի թյուրիմացություն էր: :8
Չէ, չլուծեցի, վերջում պարզվեց դասախոսս տոմեսրը փոխել էր :D
Դե հա,մենակ հանրահաշվական լրացումները հաշվելու վրա մի ժամ կգնար;) Մեր մոտ էլ մատրիցներ կային,չնայած ամենաբարձրը 3-րդ կարգ էր:P

Rammstein

22.11.2008, 20:57

Տրամաբանությունը հասկացա,բայց էդքանը հաշվելու համար մոտ 40 րոպե ժամանակա պետք,այսինքն քննությանը սենց խնդիր դնելը ուղղակի թյուրիմացություն էր: :8
Չէ, չլուծեցի, վերջում պարզվեց դասախոսս տոմեսրը փոխել էր :D

Երեւի ճիշտ եմ արել, որ թարգել եմ էս մաթեմը։ Առաջ հիշում էի էդ մատրից մուտրիցները, հիմա ցաղ մոռացել եմ...

Yellow Raven

01.12.2008, 17:28

Էլի ես իմ խնդիրներով...:D Էս անգամ բայց շատ ավելիա պետք`վերահանձնումնա,էս էլ չեմ ստանում ու պուուու..:P:D 4 հատ խնդիրա որն էլ լուծեք ահագին գոհ կլինեմ:)

1. Գտնել գծային տարածության մինիմալ վերացնող բազմանդամը, եթե օպերատորը ներկայացված է մատրիցով,որի Ժորդանյան նորմալ տեսքի վանդակները հետևյալն են`

-2 0
1 -2

3

4 0 0
1 4 0
0 1 4

4 0
1 4

3 0
1 3

:)

2.Կառուցել մատրիցի Ժորդանյան նորմալ ձևը Սմիթի նորմալ տեսքի միջոցով

-1 2 1 -2
-1 1 1 -1
0 0 1 -2
0 0 1 -1

3.A գծային օպերատորի մատրիցը e[1], e[2], e[3], e[4] բազիսում ունի հետևյալ տեսքը

7 2 3 2
-1 0 3 1
2 2 5 -3
1 1 0 2

Որոշել օպերատորի մատրիցը e[3], e[1]-e[2], e[1]+2e[2]-e[3], e[2]+e[3]-e[4] բազիսում:

4. Գտնել մատրիցի սեփական արժեքները, սեփական վեկտորները

0 1 0 0
3 0 2 0
0 2 0 3
0 0 1 0

Добрые люди,помогите:B

Մանե

01.12.2008, 17:50

տենաս մենք էլ ենք սենց դաժան բաներ անցնելու:think:8:8

Tigran1989

01.12.2008, 21:22

Վահիկ ջան սրանք ստից բաներ են, ուղղակի լրիվ մոռացել եմ:
Բայց ամեն դեպքում հեշտ են: Մենք առաջին կուրսում ենք անցել, ափսոս xerox-ները չեմ գտնում:

Yellow Raven

02.12.2008, 16:28

Վահիկ ջան սրանք ստից բաներ են, ուղղակի լրիվ մոռացել եմ:
Բայց ամեն դեպքում հեշտ են: Մենք առաջին կուրսում ենք անցել, ափսոս xerox-ները չեմ գտնում:

Ստից են, բայց դե պետք են:D
Ոչ մեկ չի կարում լուծի:(

ars83

03.12.2008, 20:09

4. Գտնել մատրիցի սեփական արժեքները, սեփական վեկտորները

Ունենք՝ A=
( 0 1 0 0 )
( 3 0 2 0 )
( 0 2 0 3 )
( 0 0 1 0 )

Բնութագրիչ բազմանդամը՝ det (lambda * E - A) =
| L -1 0 0 |
| -3 L -2 0 | = L^4 - 10*L^2 -9,
| 0 -2 L -3 |
| 0 0 -1 L |
որտեղ L = lambda

Բնութագրիչ բազմանդամի արմատներն են (= մատրիցի սեփական արժեքները)՝ L[1] = 3, L[2] = -3, L[3] = 1, L[4] = -1
Համապատասխանաբար, սեփական վեկտորները՝
1) L=3,

(3E-A)X = 0 => ( 3 -1 0 0 )
( -3 3 -2 0 ) * X = 0
( 0 -2 3 -3 )
( 0 0 -1 3 )

որտեղ X-ը որոնելի քառաչափ վեկտորն է:

Այս հավասարման ցանկացած լուծում ունի (c, 3c, 3c, c) տեսքը, որտեղ c-ն իրական թիվ է, ուստի համապատասխան սեփական վեկտորը կլինի X[1] = {1, 3, 3, 1}

2) L = -3

(-3E-A)X = 0 => (-3 -1 0 0 )
( -3 -3 -2 0 ) * X = 0
( 0 -2 -3 -3 )
( 0 0 -1 -3 )
Այս հավասարման ցանկացած լուծում ունի (-c, 3c, -3c, c) տեսքը, որտեղ c-ն իրական թիվ է, ուստի համապատասխան սեփական վեկտորը կլինի X[2] = {-1, 3, -3, 1}

3) L = 1

(E-A)X = 0 => ( 1 -1 0 0 )
( -3 1 -2 0 ) * X = 0
( 0 -2 1 -3 )
( 0 0 -1 1 )
Այս հավասարման ցանկացած լուծում ունի (-c, -c, c, c) տեսքը, որտեղ c-ն իրական թիվ է, ուստի համապատասխան սեփական վեկտորը կլինի X[3] = {-1, -1, 1, 1}

3) L = -1

(-E-A)X = 0 => ( -1 -1 0 0 )
( -3 -1 -2 0 ) * X = 0
( 0 -2 -1 -3 )
( 0 0 -1 -1 )
Այս հավասարման ցանկացած լուծում ունի (c, -c, -c, c) տեսքը, որտեղ c-ն իրական թիվ է, ուստի համապատասխան սեփական վեկտորը կլինի X[4] = {1, -1, -1, 1}

Պատասխան՝ ա. սեփական արժեքները՝ 3; -3; 1; -1
բ. սեփական վեկտորները՝ {1, 3, 3, 1}; {-1, 3, -3, 1}; {-1, -1, 1, 1}; {1, -1, -1, 1}

Հ.Գ. E-ով նշանակված է միավոր մատրիցը: Դետերմինանտների հաշվարկը և սեփական վեկտորները գտնելու ընթացքում գծային հավասարումների համակարգի լուծումը մանրամսն չեմ գրել, հեշտ է, կարող ես ինքն անել (օրինակ՝ դետերմինանտը՝ ըստ առաջին տողի վերլուծելու, համակարգերը՝ Գաուսի մեթոդով):

Yellow Raven

03.12.2008, 23:49

Մերսի Արս ջան:)

| L -1 0 0 |
| -3 L -2 0 | = L^4 - 10*L^2 -9,
| 0 -2 L -3 |
| 0 0 -1 L |

Դետերմինանտը ես ոնց անում եմ աստանում եմ L^4 - 10*L^2 +9
Համ էլ աչքիս դու ես գրելուց վրիպակ թույլ տվել,որովհետև քո գրած արմատները մենակ էս դեպքում են ստացվում:)

Հ.Գ. Արս մեկ էլ det (lambda * E - A) -ն ու det ( A-lambda * E)-ն նույնն են չէ?:oy

Այս հավասարման ցանկացած լուծում ունի (c, 3c, 3c, c) տեսքը, որտեղ c-ն իրական թիվ է, ուստի համապատասխան սեփական վեկտորը կլինի X[1] = {1, 3, 3, 1}

Ինչի X[1],այլ ոչ թե օրինակ X[2]? :8

Yellow Raven

04.12.2008, 11:29

Մի հարց էլ տամ Արս ջան:)
Սեփական վեկտորների քանակը հավասարա n-rank չէ?Հիմա տվյալ դեպքում ռանգը ստացվումա 3` 4-3=1, հետևաբար լինումա մեկ սեփական վեկտոր:
Իսկ եթե ռանգը լիներ 2? Ինչ պետքա հաշվեինք 2 հատ? X[?] ու X[?] ? Ու էդ ?-երը ինչ պետքա լինեին?

;)

ars83

04.12.2008, 13:54

Մերսի Արս ջան:)
Դետերմինանտը ես ոնց անում եմ աստանում եմ L^4 - 10*L^2 +9
Համ էլ աչքիս դու ես գրելուց վրիպակ թույլ տվել,որովհետև քո գրած արմատները մենակ էս դեպքում են ստացվում:)
Ճիշտ ես, Վահիկ ջան, վրիպակ է, պետք է + լինի:

Հ.Գ. Արս մեկ էլ det (lambda * E - A) -ն ու det ( A-lambda * E)-ն նույնն են չէ?:oy
Կախված է մատրիցի կարգից: Ընդհանուր դեպքում՝ ոչ:
B=lambda * E - A մատրիցը ստացվում է C=A-lambda * E մատրիցից բոլոր տողերը (-1)-ով բազմապատկելով: Ըստ դետերմինանտների հատկություններից մեկի՝ եթե մատրիցի որևէ տող բազմապատկենք k թվով, ապա նրա դետերմինանտը ևս կբազմապատկվի k-ով: Այդտեղից հետևում է, որ det (lambda * E - A) = (-1)^n * det ( A-lambda * E), որտեղ n-ը մատրիցի կարգն է:

Ինչի X[1],այլ ոչ թե օրինակ X[2]? :8
Սա պայմանական նշանակում է ընդամենը՝ սեփական վեկտորները համարակալելու համար: X[1], որովհետև համապատասխանում է առաջին սեփական արժեքին:

ars83

04.12.2008, 13:59

Մի հարց էլ տամ Արս ջան:)
Սեփական վեկտորների քանակը հավասարա n-rank չէ?
Այո:

Հիմա տվյալ դեպքում ռանգը ստացվումա 3` 4-3=1, հետևաբար լինումա մեկ սեփական վեկտոր:
Իսկ եթե ռանգը լիներ 2? Ինչ պետքա հաշվեինք 2 հատ?
Այո, երկու հատ:
Նայիր այս օրինակները, եթե հարցեր լինեն, կփորձեմ պատասխանել.
http://www.dep805.ru/education/kk/jmatrix/part1.htm
http://www.reshebnik.ru/solutions/10/9/

X[?] ու X[?] ? Ու էդ ?-երը ինչ պետքա լինեին?

Օրինակ՝ X[1,1] X[1,2]: Սա ընդամենը նծանակում է՝ ցույց տալու համար, թե որ սեփական վեկտորը որ սեփական արժեքին է համապատասխանում:

Yellow Raven

04.12.2008, 17:32

Ճիշտ ես, Վահիկ ջան, վրիպակ է, պետք է + լինի:

Կախված է մատրիցի կարգից: Ընդհանուր դեպքում՝ ոչ:
B=lambda * E - A մատրիցը ստացվում է C=A-lambda * E մատրիցից բոլոր տողերը (-1)-ով բազմապատկելով: Ըստ դետերմինանտների հատկություններից մեկի՝ եթե մատրիցի որևէ տող բազմապատկենք k թվով, ապա նրա դետերմինանտը ևս կբազմապատկվի k-ով: Այդտեղից հետևում է, որ det (lambda * E - A) = (-1)^n * det ( A-lambda * E), որտեղ n-ը մատրիցի կարգն է:

Սա պայմանական նշանակում է ընդամենը՝ սեփական վեկտորները համարակալելու համար: X[1], որովհետև համապատասխանում է առաջին սեփական արժեքին:

:)

Բայց հիմա իմ մոտ հարցը նրանումա, թե ,օրինակ` L=3 սեփական արժեքի համար սեփական վեկտոր են հանդիասանում բոլոր (c, 3c, 3c, c) տեսքի վեկտորների բազմությունը,թե {1, 3, 3, 1}-ը: Այ էդ 1 տեղադրելու պահը չեմ հասկանում:pardon

ars83

04.12.2008, 17:51

:)

Բայց հիմա իմ մոտ հարցը նրանումա, թե ,օրինակ` L=3 սեփական արժեքի համար սեփական վեկտոր են հանդիասանում բոլոր (c, 3c, 3c, c) տեսքի վեկտորների բազմությունը,թե {1, 3, 3, 1}-ը: Այ էդ 1 տեղադրելու պահը չեմ հասկանում:pardon

Ցանկացած (c, 3c, 3c, c) տեսքի վեկտոր էլ, որտեղ c-ն հավասար չէ 0-ի կլինի սեփական վեկտոր:
Պատասխանում սովորաբար ընտրում են դիանցից մեկը (օրինակ՝ այնպիսինը, որ կոտորակային թվեր չստացվեն):

Տես, օրինակ, այս խնդրի լուծման վերջնամասը.
http://elib.ispu.ru/library/math/sem1/pyartli1/node80.html

Yellow Raven

04.12.2008, 19:14

Մերսի, էդ էի հարցնում:)

Հ,Գ Հիմա էլ էս մատրիցի բնութագրիչ բազմանդամի Սմիթի նորմալ տեսքը չեմ կարում ստանամ:(

-1 2 1 -2
-1 1 0 3
0 0 1 -2
0 0 1 -1

Վերջում 4 աստիճանի հավասարում եմ ստանում,որի արմատները հնարավոր չի գտնել:8

Քննությունս էլ վաղնա:(

Ռեդ

26.12.2008, 18:37

Արս ջան նայի էլի մի հատ ;)
1. Դիցուք a-ն Էվկլիդեսյան տարածության ոչ զրոյական տարր է: Ապացուցել, որ Ax=(a,x)a բանաձևով տրված օպերատորը գծային է և պարզել միջուկի չափը:
2. xAx^T քառակուսային ձևը բերել կանոնական տեսքի
A= (3 3 3)
( 3 0 0)
(3 0 -2)
3. Կառուցել A մատրիցի իրական Ժորդանյան նորմալ ձևը դեֆեկտների բանաձևերի միջոցով
A=(-1 2 -1 -2)
(-1 1 0 -1)
(0 0 1 -2)
(0 0 1 -1)
4. Դիցուք
L1={(2,3,1,2,0,1),(0,-1,0,1,1,0),(0,0,1,1,1,1)}*
L2={(-2,2,-1,0,2,0),(4,0,3,0,1,1)}*
Գտնել L1 Ո L2 գծային տարածության բազիսը
5. Ապացուցել, որ A:L -> L գծային օպերատորի համար ստույգ է (նկարը)
http://i428.photobucket.com/albums/qq3/vardaram/untitled-4.jpg

Javakhk

30.12.2008, 05:59

Javakhk

30.12.2008, 06:08

Օրինակ` առաջին խնդրի լուծումը.

Ax=(a,x)a

A-ն գծային է, քանի որ.

A(x+y)= (a, (x+y))a=((a,x) + (a,y))a ըստ սկալյար արտադրյալի սահմանման:

((a,x) + (a,y))a = (a,x)a + (a,y)a ըստ գծային տարածության սահմանման (սկալյարով բազմապատկումը գծային է):

***

Հեշտ է նկատել, որ A-ի պատկերը մեկ չափանի ենթատարածություն է: Դա երեւում է այն բանից, որ բոլոր Ax վեկտորները պատիկ են a վեկտորին: Ենթադրենք մեր տարածության չափողականությունը n է: Գիտենք թէորեմ` օպերատորի միջուկի եւ պատկերի չափողականությունների գումարը հավասար է տարածության չափողականությանը: Ուեմն մեր դեպքում միջուկի չափողականությունն է` n-1:

That’s it.

ars83

14.01.2009, 01:32

2. xAx^T քառակուսային ձևը բերել կանոնական տեսքի
A= (3 3 3)
( 3 0 0)
(3 0 -2)

Քառակուսային ձևը նորմալ տեսքի բերում ենք Լագրանժի ալգորիթմով /նկարագրված է այս գրքում՝ http://www.mat-ua.narod.ru/mat/biblioteka/Malcev-Algebra.djvu, էջեր 264-265, խորհուրդ եմ տալիս ուսումնասիրել այդ գրքում նկարագրված ալգորիթմը և 265-րդ էջի օրինակը, այն ավելի բարդ է քան քո նշածը/

Նշված մատրիցին համապատասխանող քառակուսային ձևը կլինի.
F = Sum(a[i][j] * x[i] * x[j]); i,j = 1, 2, 3

F = 3*x[1]*x[1] - 2*x[2]*x[2] + 6*x[1]*x[2] + 6*x[1]*x[3]
Քայլ 1. Նայում ենք՝ կա՞ արդյոք որևէ քառակուսի: Կա, օրինակ 3 * x[1]* x[1]-ը: Հետևաբար, կարելի է կիրառել Ա տիպի /տես ալգորիթմի նկարագրությունը գրքում/ ձևափոխություն. F-ում առանձնացնում ենք x[1] պարունակող բոլոր անդամները և ձևափոխում դրանք.

F = 3*x[1]*x[1] + 2*3*x[1]*x[2] + 2*x[2]*x[3] - 2x[3]*x[3] = 3*(x[1] + 2*x[1]*x[2] + 2*x[1]*x[3]) - 2*x[3]*x[3] = 3*(x[1] + x[2] + x[3])^2 - 3*(x[2]*x[2] + x[3]*x[3] + 2*x[2]*x[3]) - 2*x[3]*x[3] = 3*(x[1] + x[2] + x[3])^2 - 3*x[2]*x[2] - 5*x[3]*x[3] - 6*x[2]*x[3]

Կատարում ենք փոփոխականների փոխարինում՝
y[1] = x[1] + x[2] + x[3]
y[2] = x[2]
y[3] = x[3]

F= 3*y[1]*y[1] - 3*y[2]*y[2] - 5*y[3]*y[3] - 6*y[2]*y[3]

Քայլ 2. Նայում ենք՝ կա՞ արդյոք որևէ քառակուսի, որի ինդեքսը մեկից մեծ է: Կա, 3*y[2]*y[2] -ը: Կատարում ենք նույն ձևափոխությունը:

F = 3*y[1]*y[1] - 5*y[3]*y[3] - 3*(y[2]*y[2] + 2*y[2]*y[3]) = 3*y[1]*y[1] - 5*y[3]*y[3] - 3*(y[2] + y[3])^2 + 3*y[3]*y[3] = 3*y[1]*y[1] - 3*(y[2] + y[3])^2 - 2*y[3]*y[3]

Կատարում ենք փոփոխականների փոխարինում՝
z[1] = y[1]
z[2] = y[2] +y[3]
z[3] = y[3]

F = 3*z[1]*z[1] - 3*z[2]*z[2] - 2*z[3]*z[3]՝ քառակուսային ձևը բերվեց նորմալ տեսքի:
Համապատասխան անկյունագծային մատրիցը`
B =
(3 0 0)
(0 -3 0)
(0 0 -2)

Փոփոփականների փոխարինումը կարելի է գրել մատրիցային տեսքով՝
y= Px, z = Qy = QPx,

որտեղ`
x = (x[1], x[2], x[3]), y=(y[1], y[2], y[3])
P =
(1 1 1)
(0 1 0)
(0 0 1)

Q =
(1 0 0)
(0 1 1)
(0 0 1)

Բազմապատկելով Q և P մատրիցները, ստանում ենք՝
z = Cx, որտեղ
C =
(1 1 1)
(0 1 1)
(0 0 1),

այսինքն՝ z[1] = x[1] + x[2] + x[3]
z[2] = x[2] + x[3]
z[3] = x[3]

Այստեղից կարող ենք ստանալ /օրինակ՝ լուծելով հավասարումների համակարգը x-երի նկատմամբ/, որ

x[1] = z[1] - z[2]
x[2] = z[2] - z[3]
x[3] = z[3]

փոխարինումով սկզբնական քառակուսային ձևը բերվում է կանոնական տեսքի:

ars83

16.01.2009, 02:52

5. Ապացուցել, որ A:L -> L գծային օպերատորի համար ստույգ է (նկարը)
http://i428.photobucket.com/albums/qq3/vardaram/untitled-4.jpg

Վահիկի հետ պարզեցինք, որ աստղանիշով դուք նշանակում եք վեկտորների համակարգի գծային թաղանթը: Բայց այս օրինակում, իմ կարծիքով, աստղանիշն օգտագործված է համալուծ օպերատորի նշանակման համար և ճիշտ գրառումն է /ձախ մասում/՝ ker(A*), կամ նույնիսկ առանց փակագծերի` kerA*:

Փորձել եմ կառուցել կոնտրօրինակ այն դեպքի համար, եթե իրոք ձախ մասում աստղանիշն օգտագործված է գծային թաղանթի նշանակման համար:

kerA-ն, գծային օպերատորի միջուկը, ինքը տեղից գծային ենթատարածություն է /Ax=0 և Ay=0-ից հետևում է. A(ax+by) = aAx + bAy = 0, ուստի, ամեն x և y զույգի հետ միասին kerA-ն պարունակում է նաև դրանց գծային կոմբինացիան/: Ենթատարածության գծային թաղանթը կլինի հենք ինքը: Ուստի ձախ մասը կլինի պարզապես kerA:

Հիմա դիտարկենք n-ը չգերազանցող աստիճանի իրական գործակիցներով բազմանդամների գծային տարածությունը /իրական թվերի դաշտի վրա/: Նշանակենք այն L-ով: Յուրաքանչյուր a[0] + a[1]* x + ... + a[n]* x^n տեսքի բազմանդամի փոխմիարժեքորեն համապատասխանում է (n+1)-չափանի վեկտոր՝ (a[0], a[1], ..., a[n]): Այսինքն բազմանդամների հետ կատարվող գործողությունները նույնն են, ինչ-որ համապատասխան վեկտորների հետ կատարվող գործողությունները:

Մտցնենք A:L->L օպերատորը, որը յուրաքանչյուր բազմանդամին համապատասխանեցնում է իր ածանցյալը, կամ որ նույնն է յուրաքանչյուր (a[0], a[1], ..., a[n]) վեկտորին՝ (c[0], c[1], ..., c[n-1], 0) տեսքի վեկտոր: Հեշտ կարելի է ստուգել, որ այդ օպերատորը գծային է:

Սահմանենք բազմանդամների սկալյար արտադրյալն այսպես.
(a[0], a[1], ..., a[n]) և (b[0], b[1], ..., b[n]) վեկտորներին համապատասխանող բազմանդամների սկալյար արտադրյալ համարենք a[0]*b[0] + a[1]*b[1]+ ... + a[n]*b[n] թիվը:

kerA-ն այս դեպքում կլինի բոլոր այն բազմանդամների բազմությունը, որոնց ածանցյալը զրո է, այսինքն՝ զրո աստիճանի բազմանդամները, որոնք ունեն (a[0], 0, ..., 0) տեսքի վեկտորներ: ImA-ն կլինի բոլոր (n-1)-ը չգերազանցող կարգի բազմանդամների բազմությունը՝ (a[0], ..., a[n-1], 0) տեսքի վեկտորներով: ImA-ի օրթոգոնալ լրացումը կազմված է L-ի այն բազմանդամներից, որոնց սկալյար արտադրյալը ImA-ի ցանկացած բազմանդամի հետ զրո է: Պարզ է, որ դա n-րդ կարգի միանդամներն են, որոնք ունեն (0, ..., 0, a[n]) տեսքի վեկտորներ և 0-ն /որի համապատասխան վեկտորը (0, ..., 0)-ն է/: Այսպիսով, ImA-ի օրթոգոնալ լրացման մեջ կան /անթիվ քանակությամբ/ վեկտարներ, որոնք չեն մտնում A օպերատորի միջուկի, kerA-ի մեջ, ուստի kerA-ն չի կարող հավասար լինել ImA-ի օրթոգոնալ լրացմանը:
===============================================================

Ինչ վերաբերում է ker(A*) = (ImA)-ի օրթոգոնալ լրացում հավասարման ապացույցին /որը Ֆրեդհոլմի թեորեմի մի մասն է/, ապա այն ապացուցվում է այսպես.

Քանի որ A*-ը A-ի համալուծ օպերատորն է, ցանկացած x, y-ի համար L-ից` (At, r) = (t, A*r):
Վերցնենք կամայական g վեկտոր kerA*-ից: Ունենք՝ A*g=0:
Ինչպիսի y վեկտոր վերցնենք ImA-ից /գոյություն ունի x L-ից այնպիսին, որ Ax=y/,
(y, g) = (Ax, g) = (x, A*g) = (x, 0) = 0, այսինքն, ցանկացած g վեկտոր kerA*-ից օրթոգոնալ է ImA-ի բոլոր վեկտորներին, ուստի մտնում է ImA-ի օրթոգոնալ լրացման մեջ: Այստեղից հետևում է, որ kerA*-ը ImA-ի օրթոգոնալ լրացման ենթաբազմությունն է:

Հակառակը, վերցնենք ցանկացած g վեկտոր ImA-ի oրթոգոնալ լրացումից: g-ի սկալյար արտադրյալը ցանկացած վեկտորի հետ ImA-ից 0 է՝ (g, y) = (g, Ax) = (A*g, x) = 0: Քանի որ (A*g, x) = 0` L-ի ցանկացած տարրի համար /յուրաքանչյուր x ImA-ի որևէ տարրի նախապատկերն է, բոլոր x-երի բազմությունը A օպերատորի նախապատկերը կամ որոշման տիրույթն է, որը L-ն է/, ապա A*g=0, որտեղից հետևում է, որ g-ն պատկանում է kerA*-ին: Ուստի, ImA-ի օրթոգոնալ լրացումը kerA*-ի ենթաբազմությունն է: Ստացվեց, որ A*-ի միջուկը հավասար է ImA-ի օրթոգոնալ լրացմանը:

Yellow Raven

16.01.2009, 14:23

Ես դեռ գիրքը լրիվ չեմ կարդացել,կարողա և *-ով համալուծ օպերատորն էլ ենք նշանակում:)

Yellow Raven

16.01.2009, 22:34

F = 3*x[1]*x[1] - 2*x[2]*x[2] + 6*x[1]*x[2] + 6*x[1]*x[3]
Քայլ 1. Նայում ենք՝ կա՞ արդյոք որևէ քառակուսի: Կա, օրինակ 3 * x[1]* x[1]-ը: Հետևաբար, կարելի է կիրառել Ա տիպի /տես ալգորիթմի նկարագրությունը գրքում/ ձևափոխություն. F-ում առանձնացնում ենք x[1] պարունակող բոլոր անդամները և ձևափոխում դրանք.

F = 3*x[1]*x[1] + 2*3*x[1]*x[2] + 2*x[2]*x[3] - 2x[3]*x[3] = 3*(x[1] + 2*x[1]*x[2] + 2*x[1]*x[3]) - 2*x[3]*x[3] = 3*(x[1] + x[2] + x[3])^2 - 3*(x[2]*x[2] + x[3]*x[3] + 2*x[2]*x[3]) - 2*x[3]*x[3] = 3*(x[1] + x[2] + x[3])^2 - 3*x[2]*x[2] - 5*x[3]*x[3] - 6*x[2]*x[3]

Արս ստեղ աչքիս սխալ կա:think

Yellow Raven

16.01.2009, 23:01

Լավ ես էլ սենց արի նույն բանը ստացա էդ մասը,բայց ընթացքում աչքիս ինդեքսներ ես խառնել:)
Ասենք ստեղ`

F = 3*x[1]*x[1] - 2*x[2]*x[2] + 6*x[1]*x[2] + 6*x[1]*x[3]

x[2]*x[2]-ի փոխարեն պետքա x[3]*x[3] լինի:)

Հ.Գ. Արս ամսի 20-ին` երեքշաբթի օրը քննության ենք ,մինչև էդ էլի լուծի էլի;)
Ի դեպ, մեր սաղ խումբը քո գրածներիցա օգտվում:P Բարի գործ ես անում:hands

ars83

16.01.2009, 23:15

x[2]*x[2]-ի փոխարեն պետքա x[3]*x[3] լինի:)

Ճիշտ ես, Վահիկ ջան, պետք է լինի x[3]-ի քառակուսի/մատրիցի a[3][3] տարրին համապատասխանող գործակցով/: Շարունակությունը, բայց, ճիշտ է /հաջորդ տողում x[3]-ի քառակուսի է գրված/:

ars83

17.01.2009, 01:18

4. Դիցուք
L1={(2,3,1,2,0,1),(0,-1,0,1,1,0),(0,0,1,1,1,1)}*
L2={(-2,2,-1,0,2,0),(4,0,3,0,1,1)}*
Գտնել L1 Ո L2 գծային տարածության բազիսը

Լուծման եղանակը մի փոքր երկար է, բայց, երևի, ամենապարզն է: Այս օրինակում հաստատ աստղանիշը նշանակում է գծային թաղանթ :)

Նշանակենք a[1] = (2, 3, 1, 2, 0, 1), a[2] = (0, -1, 0, 1, 1, 0), a[3] = (0, 0, 1, 1, 1, 1); b[1] = (-2, 2, -1, 0, 2, 0), b[2] = (4, 0, 3, 0, 1, 1): Ըստ խնդրի պայմանների, L1 գծային տարածությունը ձգված է a[1], a[2] և a[3] վեկտորների վրա, իսկ L2-ը՝ b[1] և b[2]-ի վրա: Գտնենք L1-ի և L2-ի բազիսները:

a[1], a[2], a[3] -ի կոորդինատներից կազմենք մատրից և ձևափոխենք այն անկյունագծային /տվյալ դեպքում՝ սեղանակերպ/ տեսքի: /Եթե որևէ տողում բոլոր տարրերը ստացվեն 0-ներ, ապա համապատասխան վեկտորը կարտահայտվի մյուսներով և այն կարող ենք հանել բազիսից:/
(2, 3, 1, 2, 0, 1)
(0, -1, 0, 1, 1, 0)
(0, 0, 1, 1, 1, 1)

Տվյալ դեպքում մատրիցն արդեն իսկ սեղանակերպ տեսքի է և զրոյական տող չկա: Նշանակում է հենց a[1], a[2], a[3] համակարգը բազիս է L1-ի համար: Դա նշանակում է, որ L1-ի ցանկացած x վեկտոր ունի x = k[1] * a[1] + k[2] * a[2] + k[3] * a[3] տեսքը, որտեղ k[1], k[2] և k[3] գործակիցներն իրական թվեր են:

Նույն գործողություններն անելով b[1] և b[2]-ի կոորդինատների հետ, ստանում ենք՝
(-2, 2, -1, 0, 2, 0)
(4, 0, 3, 0, 1, 1) ~ /համարժեք է/

(-2, 2, -1, 0, 2, 0)
( 0, 4, 1, 0, 5, 1) /երկրորդ տողին գումարել ենք առաջինի կրկնապատիկը/

Այստեղից երևում է, որ b[1] և b[2] գծորեն անկախ են և կազմում են L2-ի բազիսը: Ուստի ցանկացած y վեկտոր L2-ից ունի հետևյալ տեսքը. y = t[1] * b[1] + t[2] * b[2]

Հիմա դիտարկենք ցանկացած z վեկտոր L1 Ո L2-ից: Այն միաժամանակ պետք է վերլուծվի L1-ի և L2-ի բազիսներով՝
z = k[1] * a[1] + k[2] * a[2] + k[3] * a[3] = t[1] * b[1] + t[2] * b[2]

Այս հավասարումները գրելով վեկտորների կոորդինատների միջոցով՝ ստանում ենք.
(2*k[1], 3*k[1], k[1], 2*k[1], 0, k[1]) + (0, -k[2], 0, k[2], k[2], 0) + (0, 0, k[3], k[3], k[3], k[3]) = (-2*t[1], 2*t[1], -t[1], 0, 2*t[1], 0) + (4*t[2], 0, 3*t[2], 0, t[2], t[2]) =>
(2*k[1], 3*k[1] - k[2], k[1] + k[3], 2*k[1] + k[2] + k[3], k[2] + k[3], k[1] + k[3]) = (-2*t[1] + 4*t[2], 2*t[1], -t[1] + 3*t[2], 0, 2*t[1] + t[2], t[2])

Հավասարացնելով համապատասխան կոորդինատները՝ ստանում ենք հետևյալ հավասարումների համակարգը k[1], k[2], k[3], t[1], t[2] անհայտների նկատմամբ.

2*k[1] = -2*t[1] + 4*t[2]
3*k[1] - k[2] = 2*t[1]
k[1] + k[3] = -t[1] + 3*t[2]
2*k[1] + k[2] + k[3] = 0
k[2] + k[3] = 2*t[1] + t[2]
k[1] + k[3] = t[2]

Բոլոր անհայտները մի կողմ բերելով՝ ստանում ենք գծային հավասարումների համասեռ համակարգ, որի մատրիցը հետևյալն է.

(2, 0, 0, 2, -4)
(3, -1, 0, -2, 0)
(1, 0, 1, 1, -3)
(2, 1, 1, 0, 0)
(0, 1, 1, -2, -1)
(1, 0, 1, 0, -1)

Մատրիցի 1-ին և 6-րդ, 2-րդ և 5-րդ, 3-րդ և 4-րդ տողերը տեղերով փոխելով և էլեմնտար ձևափոխություններ կատարելով /Գաուսի մեթոդով/ մատրիցը կբերենք հետևյալ տեսքի.

(1, 0, 1, 0, -1)
(0, 1, 1, -2, -1)
(0, 0, -2, 2, 3)
(0, 0, 0, 1, -2)
(0, 0, 0, 0, -13)
(0, 0, 0, 0, 0)

Վերջին տողը կարող ենք դեն նետել: Հավասարումների համակարգը կընդունի հետևյալ տեսքը.
k[1] + k[3] - t[2] = 0
k[2] + k[3] - 2*t[1] - t[2] = 0
-2*k[3] + 2*t[1] + 3*t[2] = 0
t[1] - 2*t[2] = 0
-13*t[2] = 0

Այստեղից՝ k[1] = k[2] = k[3] = t[1] = t[2] = 0

Վերադառնալով L1 Ո L2 վեկտորի վերլուծությանը /կանաչով նշվածը/՝ տեսնում ենք, որ L1 Ո L2 -ը կազմված է միայն զրոյական վեկտորից: Ուստի, նրա բազիսը կազմված է 0: L1 Ո L2-ի չափողականությունը՝ 0:

Հ.Գ. Բավականին անհետաքրքիր օրինակ է, խորհուրդ կտայի այս մեթոդով լուծել նույն խնդիրը հետևյալ ենթատարածությունների համար.
L1 = {(1, 2, 1), (1, 1, -1), (1, 3, 3)}*
L2 = {(2, 3, -1), (1, 2, -2), (1, 1, -3)}*
Բացի L1 Ո L2-ից, փորձեք գտնել L1 + L2 - ի բազիսն ու չափողականությունը:

Ռեդ

17.01.2009, 01:29

Մերսի Արս ջան հասկացա լուծումդ :)

Ուստի, նրա բազիսը կազմված է 0
Այսինքն՝ զրոյական տարրից չէ՞

ars83

17.01.2009, 01:40

Մերսի Արս ջան հասկացա լուծումդ :)

Այսինքն՝ զրոյական տարրից չէ՞

զրոյական վեկտորից /գծային տարածության տարրերն ընդունված է անվանել վեկտորներ/

Yellow Raven

17.01.2009, 10:26

Հ.Գ. Բավականին անհետաքրքիր օրինակ է,

Լրիվ համաձայն եմ,ուղղակի եթե օրինակը միքիչ բարդ լինի,օրինակ` վերջին մատրիցը դժվարությամբ լուծվի կամ այլ բարդություններ մտցներ,մենք ֆիզիկապես չէինք հասցնի էդ մի դասաժամի ընթացքում գրեինք: Այսինքն, որպես միջանկյալի խնդիր նորմալա ըստ ինձ: :)

Հ.Գ. Մի հատ էլ մերսի Արս ջան:)

Yellow Raven

19.01.2009, 23:08

ars83

20.01.2009, 16:43

Արս, 4-րդ խնդրում ավելի հեշտ չի՞ լինի,եթե բազիսնեը ստուգելուց հետո L1+L2-ը կազմենք` էդ բազիսների միավորումով,հաշվենք ռանգը ու օգտվելով
dimL1+dimL2=dim(L1ՈL2)+dim(L1+L2)-ից ապացուցել,որ dim(L1+L2)-ը 0-ա:think

Խոսքը Արամի բերած օրինակի մասին է, թե՞ իմ ասած։ Քո ասած մեթոդը կիրառելի է /բայց Արամի բերած օրինակում հատման չափողականությունը 0 կլինի, միավորմանը՝ 5. L1-ի և L2-ի բազիասյաին վեկտորների համակարգը գծորեն անկախ է/

Yellow Raven

20.01.2009, 19:57

Խոսքը Արամի բերած օրինակի մասին է, թե՞ իմ ասած։ Քո ասած մեթոդը կիրառելի է /բայց Արամի բերած օրինակում հատման չափողականությունը 0 կլինի, միավորմանը՝ 5. L1-ի և L2-ի բազիասյաին վեկտորների համակարգը գծորեն անկախ է/
Կոնկրետ Արամի բերած օրինակում ստացվումա L1+L2-ի տարրերը գծորեն անկախ,հետևաբար dim(L1+L2)-ը 5-ա ու քանի որ աջ կողմն էլ 3+2-ա միանգամից հետևումա,որ dim(L1+L2)-ը 0-ա....
Քո բերած օրինակում էլ կանցնի, ուղղակի վերջում 0 չի ստացվի:pardon

Հ.Գ. Միջանկյալներս տվեցինք,վաղն էլ քննություննա...:)էս գիշեր ես աչքիս չքնա....:(
Հ.Գ.2 Բայց էս Տարածության տրոհումը ցիկլիկ տարածություններին ինչ ապուշ դասա:[

ars83

20.01.2009, 22:55

Կոնկրետ Արամի բերած օրինակում ստացվումա L1+L2-ի տարրերը գծորեն անկախ,հետևաբար dim(L1+L2)-ը 5-ա ու քանի որ աջ կողմն էլ 3+2-ա միանգամից հետևումա,որ dim(L1+L2)-ը 0-ա....
Քո բերած օրինակում էլ կանցնի, ուղղակի վերջում 0 չի ստացվի:pardon

Վահիկ ջան, երկրորդ անգամ է՝ գումար ես գրում հատման փոխարեն. մեզանից մեկը մի բան չի հասկանում:

dim(L1+L2) = dim(L1ՈL2) + dim(L1) + dim(L2)
dim(L1+L2) = 5,
dim(L1) = 3, dim(L2) = 2

Ուրեմն՝ dim(L1ՈL2) = 0

Yellow Raven

21.01.2009, 14:18

Ու հետաքրքիրը էնա,որ երկու անգամ էլ հատում եմ նկատի ունեցել,բայց գումար եմ գրել:D

n1djhayko

02.09.2010, 22:51

Yellow Raven

02.09.2010, 23:38

Էս տարի ընդունվել եմ պոլիտեխի կիրառական մաթեմատիկա ֆակ-ը ու ամսի 2-նա արդեն մաթեմը լեքցիա ենք գրել ու տվելա ապացուցենք ,որ արմատ 2-ը ռացիոնալ թիվ չի:
Խնդրում եմ օգնեք ապացուցել...

Ենթադրենք հակառակը` ռացիոնալ է:)
Այսինքն այն կներկայացվի ինչ-որ անկրճատելի կոտորակի տեսքով` m/n(եթե կրճատելի է ենթադրում ենք, որ նախօրոք կրճատված է):
Արմատ 2=m/n
Բարձրացնելով երկու մասերը քառակուսի կստանանք` 2=m^2/n^2 , որտեղից էլ ստանում ենք 2n^2=m^2 հավասարությունը:
Այստեղից հետևում է,որ m^2-ը բաժանվում է երկուսի, որտեղից էլ ինքնստինքյան հետևում է,որ m-ը ևս բաժանվում է 2-ի:
Նշ. m=2q:
(2q)^2=2n^2
2q^2=n^2
Այստեղից էլ իր հերթին հետևում է,որ n^2-ը բաժանվում է երկուսի, որտեղից էլ ստանում ենք,որ n-ը ևս բաժանվում է 2-ի:
Հետևաբար n-ն ու m-ը բաժանվում են 2-ի, հետևաբար m/n-ը անկրճատելի չէ=> Հակասություն=> Արմատ 2-ը իռացիոնալ է:)

Հ.Գ. ^-ով նշանակված է թվի աստիճանը;)

n1djhayko

03.09.2010, 21:19

Մեռսի շատ շատ